Wie wird die Umformung aussehen und wie rechnet man mit der weiter?

Question

Aufgabe:

1. Ableitung bilden

a) lg(2x)

b) lg(x²-1)

c) log₃*(\( \frac{1}{x} \))

d) x * lg(x²)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie die Ableitung bei den drei Beispielen aussehen soll. Wie wird die Umformung aussehen und wie rechnet man mit der weiter?

Answer 1

Aloha :)$$\left[\lg(2x)\right]'=\left[\frac{\ln(2x)}{\ln10}\right]'=\frac{1}{\ln10}\cdot\underbrace{\frac{1}{2x}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{2}_{\text{innere}}=\frac{1}{x\cdot\ln10}$$$$\left[\lg(x^2-1)\right]'=\left[\frac{\ln(x^2-1)}{\ln10}\right]'=\frac{1}{\ln10}\cdot\underbrace{\frac{1}{x^2-1}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{2x}_{\text{innere}}=\frac{2x}{(x^2-1)\cdot\ln10}$$$$\left[\log_3\left(\frac{1}{x}\right)\right]'=\left[\frac{\ln\left(x^{-1}\right)}{\ln3}\right]'=\frac{1}{\ln3}\cdot\underbrace{\frac{1}{x^{-1}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(-x^{-2})}_{\text{innere}}=\frac{-1}{x\cdot\ln3}$$$$\left[x\cdot\lg(x^2)\right]'=\frac{1}{\ln10}[\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\ln(x^2)}_{=v}]'=\frac{1}{\ln10}\left(\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x^2)}_{=v}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{\frac{1}{x^2}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{2x}^{=\text{innere}}}_{=v'}\right)$$$$\phantom{\left[x\cdot\lg(x^2)\right]'}=\frac{1}{\ln10}\left(\ln(x^2)+2\right)=\lg(x^2)+\frac{2}{\ln10}$$

Answer 2

1. Ableitung bilden

a)$$x≥0$$$$ f(x)=lg(2x)=$$$$1/ln(10)*ln(2x)$$$$f'(x)=1/(x*ln(10))$$

b)$$|x|≥1$$$$g(x)= lg(x^2-1)=$$$$1/ln(10)*ln(x^2-1)$$$$g'(x)=2x/(ln(10)(x^2-1))$$

c) $$x>0$$$$h(x)= log_3(\frac{1}{x})=$$$$-1/ln(3)*ln(x)$$$$h'(x)=-1/(x*ln(3))$$

d)$$ k(x)=x * lg(x²)=$$$$x/ln(10)*ln(x^2)$$$$k'(x)=1/ln(10)*(ln(x^2)+2)$$