Einheitsvektor ist gesucht

Question

Aufgabe:

(a) Berechne den Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{x}=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{y}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\1 \end{pmatrix}\).

(b) Bestimme \( k \in \mathbb{R} \) so, dass der Winkel zwischen \( \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -2\end{array}\right) \) und \( \vec{y}=\left(\begin{array}{l}1 \\ k\end{array}\right) \) genau \( 60^{\circ} \) beträgt.

(c) Bestimme alle Einheitsvektoren \( \vec{e} \in \mathbb{R}^{2} \), die orthogonal zu \( \vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\end{pmatrix} \) sind.

Hinweis: Um ein gerundetes Endergebnis fur (a) und (b) zu berechnen, darf im letzten Schritt der Taschenrechner verwendet werden.

Komme bei Aufgabe 1.7 b und c gar nicht weiter

Answer 1

Hallo,

(b)$$\cos(60^{\circ})=\frac{1}{2}=\frac{\vec{x}\cdot \vec{y}}{||\vec{x}||\cdot ||\vec{y}||}=\frac{3-2k}{\sqrt{13(k^2+1)}}$$ Daraus folgt, dass \(k=8-\frac{13}{\sqrt{3}}\)

(c) Orthogonalitätsbedingung über Skalarprodukt:$$\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e_1\\e_2 \end{pmatrix}=e_1+2e_2=0$$ Dir steht also eine ganze Gerade zur Verfügung. Welche sind überdies von der Länge 1? Tipp: Durch Länge teilen und Gegenvektor beachten.