Nullpunkt und Scheitelform von einer quadratischen Funktion mit pq Formel berechnen

Question

Aufgabe: Nullpunkt und Scheitelform von einer quadratischen Funktion mit pq Formel berechnen

Problem/Ansatz:

a) -2x²+12x-16

b) x² +2x² - 3

c) 1 / 3x² - 2x+3

d) 1 / 2 x² + 3x + 2,5

Was ich besonders nicht verstehe ist, dass man irgendwas mit dem Kehrwert multiplizieren soll um es in die pq Formel einzusetzen... Wäre nett., wenn mir hier jemand bei helfen könnte.

Answer 1

Hallo,

a)

y= -2x²+12x-16         y=0  -> Nullstellen

0 = -2x²+12x-16       | : (-2)   da x²  alleine stehen muss

0=  x² -6x+8            |pq -Formel

x_1,2 = 3 ±√ (9-8)       L ={ 4| 2)    scheitelpunkt liegt bei x= 3   y= 20

b)

y= x² +2x² - 3   

y= 3x² -3        | 3

0= x² -1 | +1

1=x²     | √

±1= x_1,2       S( 0| -3)

c)

y= 1 / 3x² - 2x+3        | hier mit dem Kehrwert von 1/3 multiplizieren *3/1

0= x² -6x +9         Binomische Form

0= (x -3)²           x= 3  Parabel verschoben auf der x-Achse , dann ist S (3|0) auch der Scheitelpunkt

d)

y= 1 / 2  x² + 3x + 2,5      | * 2/1

 0= x² +6x +5                  |pq -Formel

x_1,2 = -3±√((-3)² -5)   

       = -3 ± 4        L= { 1 | -7 }      S( -3| -2)

Comments

Da hat wieder einer ganze Arbeit geleistet. :)

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Nicht ganz, wie man so einfach auf den Scheitelpunkt kommt ist nicht enthalten.

Answer 2

a) -2x²+12x-16

Um die pq-Formel anwenden zu können benötigst du eine Gleichung der Form

        x² + px + q = 0.

Die Gleichung

      -2x²+12x-16 = 0

hat diese Form nicht. Ein wesentlicher Unterschied ist, dass vor dem x² ein Faktor steht. Der muss weg. Das mach man indem man mit dem Kehrwert dieses Faktors multipliziert:

        -1/2 · (-2x² + 12x - 16) = -1/2 · 0.

Ausmultiplizieren ergibt jetzt

        x² - 6x + 8 = 0.

Comments

Kannst du vielleicht nochmal kurz erläutern, wie du das ausmultipliziert hast? Wie hast du das gerechnet?

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-1/2 · (-2x² + 12x - 16) = -1/2 · 0.

⇔ (-1/2)·(-2)x² + (-1/2)·12x - (-1/2)·16 = -1/2 · 0.

---

Was hast du denn da miteinander multipliziert? Welche Zahlen genau?

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Ich habe die -1/2 mit der -2 multipliziert.

Ich habe die -1/2 mit der 12 multipliziert.

Ich habe die -1/2 mit der 16 multipliziert.

Answer 3

Text erkannt:

\( c \) )
\( \frac{1}{3} x^{2}-2 x+3=0 \mid \cdot 3 \)
\( x^{2}-6 x+9=0 \)
\( p, q \) Formel:
\( x^{2}+p \cdot x+q=0 \)
\( x_{1,2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} \)
\( P=-6 \) und \( q=9 \)
Nun die Werte in der Formel einsetzen.
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Text erkannt:

\( V \)

Comments

Text erkannt:

c) Scheitelform:
\( y=\frac{1}{3} x^{2}-2 x+3 \mid \cdot 3 \)
\( 3 y=x^{2}-6 x+9 \mid-9 \)
\( 3 y-9=x^{2}-6 x \mid+q \cdot E \cdot\left(-\frac{6}{2}\right)^{2}=9 \)
\( 3 y-9+9=x^{2}-6 x+9 \)
\( 3 y=(x-3)^{2} \mid: 3 \)
\( y=\frac{1}{3} \cdot(x-3)^{2} \)
\( S(3 \mid 0) \)
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Answer 4

Aloha :)

Wir fangen an mit den Nullstellen:$$f_a(x)=-2x^2+12x-16=-2(x^2-6x+8)=\boxed{-2(x-2)(x-4)}$$Die Summe von \(-2\) und \(-4\) ist \(-6\) und das Produkt von \(-2\) und \(-4\) ist \(8\).

Die Nullstellen sind \(x=2\) und \(x=4\).

$$f_b(x)=x^2+2x-3=\boxed{(x+3)(x-1)}$$Die Summe von \(3\) und \(-1\) ist \(2\) und das Produkt von \(-3\) und \(1\) ist \(-3\).

Die Nullstellen sind \(x=-3\) und \(x=1\).

$$f_c(x)=\frac{1}{3}x^2-2x+3=\frac{1}{3}\left(x^2-6x+9\right)=\boxed{\frac{1}{3}(x-3)^2}$$Die Summe von \(-3\) und \(-3\) ist \(-6\) und das Produkt von \(-3\) und \(-3\) ist \(9\).

Die Nullstellen bei \(x=3\) ist eine doppelte.

$$f_d(x)=\frac{1}{2}x^2+3x+2,5=\frac{1}{2}\left(x^2+6x+5\right)=\boxed{\frac{1}{2}(x+5)(x+1)}$$Die Summe von \(5\) und \(1\) ist \(6\) und das Produkt von \(5\) und \(1\) ist \(5\).

Die Nullstellen sind \(x=-5\) und \(x=-1\).

Weiter gehts mit der Scheitelpunktform.$$f_a(x)=-2x^2+12x-16=-2(x^2-6x+8)$$$$\phantom{f_a(x)}=-2\left(x^2-6x+\left(\frac{-6}{2}\right)^2-\left(\frac{-6}{2}\right)^2+8\right)$$$$\phantom{f_a(x)}=-2\left(\underbrace{x^2-6x+9}_{=(x-3)^2}\,\underbrace{-9+8}_{=-1}\right)$$$$\phantom{f_a(x)}=-2\left((x-3)^2-1\right)=\boxed{-2(x-3)^2+2}$$Der Scheitelpunkt liegt also bei \(S_a(3|2)\).

$$f_b(x)=x^2+2x-3=x^2+2x+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2-3$$$$\phantom{f_b(x)}=\underbrace{x^2+2x+1}_{=(x+1)^2}\,\underbrace{-1-3}_{=-4}=\boxed{(x+1)^2-4}$$Der Scheitelpunkt liegt also bei \(S_b(-1|-4)\).

$$f_c(x)=\frac{1}{3}x^2-2x+3=\frac{1}{3}\left(x^2-6x+9\right)=\boxed{\frac{1}{3}(x-3)^2}$$Der Scheitelpunkt liegt also bei \(S_c(3|0)\).

$$f_d(x)=\frac{1}{2}x^2+3x+2,5=\frac{1}{2}\left(x^2+6x+5\right)$$$$\phantom{f_d(x)}=\frac{1}{2}\left(x^2+6x+\left(\frac{6}{2}\right)^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2+5\right)$$$$\phantom{f_d(x)}=\frac{1}{2}\left(\underbrace{x^2+6x+9}_{=(x+3)^2}\,\underbrace{-9+5}_{=-4}\right)=\boxed{\frac{1}{2}(x+3)^2-2}$$Der Scheitelpunkt liegt also bei \(S_d(-3|-2)\).