Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (b_{n}) mit b_{n}:=a_{n+3} · a_{n+2}+a_{n+1}?

Question

Aufgabe:

Sei \( a_{n} \) eine gegen \( a \) konvergente Folge: \( \lim \limits_{n \to \infty} a_{n}=a \).

(a) Sei \( k \) eine belienbige natürliche Zahl. Was lässt sich über das Konvergenzverhalten von \( b_{n}:=a_{n+k} \) sagen?

(b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge \( \left(b_{n}\right) \) mit \( b_{n}:=a_{n+3} \cdot a_{n+2}+a_{n+1} ? \)

(c) Geben Sie den Grenzwert von \( \sum_{k=1}^{n} \frac{a_{k}}{n} \) an, indem Sie die Übungsaufgabe (8) für die Unterstützungsgruppen (ohne Beweis) verwenden.

(d) Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Folge \( \left(a_{n}\right) \) an, sodass die Folge \( \left(b_{n}\right) \) mit \( b_{n}=n^{2} \cdot a_{n} \) konvergiert, bestimmt divergiert, bzw. divergiert.

(e) Geben Sie eine divergente Folge \( c_{n} \) an, sodass die Folge \( b_{n}:=c_{n} \cdot c_{n+1} \) konvergiert.

Ansatz:

a) Wenn die Folge an gegen a konvergiert, dann konvergiert auch die Folge an+k gegen a, nur erreicht sie den Grenzwert schneller.

b) lim b_n= lim(a_n+3*a_n+2+a_n+1)

=lim(a_n+3)*lim(a_n+2)+lim(a_n+1) = a*a+a=a²+a

c) brauch ich hilfe

d) Wenn a_n=1/n³ ist, dann konvergiert n^2*(1/n^3) gegen 0.

Wenn an=1^n ist, dann konvergiert 1^n*n^2 gegen unendlich, bzw. die Folge ist divergent

Wenn an=(-1)^n ist, dann konvergiert (-1)^n*n^2 gegen -unendlich und unendlich.

e) fällt mir leider nichts ein

Stimmt mein Ansatz, bzw. wie gehen die anderen Punkte?

Comments

Bei (e) vielleicht \(c_n=(-1)^n\).

Answer 1

a) Stimmt, die Folge bleibt ja gleich lediglich wird die Folge bis zum n+k ten Folgeglied betrachet. Entsprechend ist dies der gleiche Grenzwert.

b) Stimmt naturlich auch, hast da die a) verwendet und entsprechend die Grenzwertregeln für Folgen angewendet.

c) Dort würde ich einfach mal die Summe aufschreiben und schauen, ob du GW Regeln drauf anweden kannst bzw. müsstest du formulieren, was in Übungsaufgabe 8 gegeben war.

d) stimmt, kannst aber auch einfach die Konstante FOlge 1  nehmen, um die divergente Folge zu bilden

e) Würde ich die Alternierende Folge (-1)^n nehmen. Diese Divergiert natürlich, weil die immer zwischen -1 und 1 springt, aber (-1)^(n) * (-1)^(n+1) kannst du zusammenfassen und dann siehst du, dass der GW -1 ist.