Wie kann die Aussagen beweisen?

Question

Für a > 0 sei h: (-a, a) → ℝ eine beschränkte Funktion.  

Wie kann man folgende Aussagen beweisen?

1.) Die Funktion f: (-a,a) → ℝ x ↦ x • h (x) ist stetig in x₀ = 0.

2.) Finden Sie ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass die Funktion f nicht unbedingt differenzierbar in x₀ = 0 ist.

3.) Die Funktion g: (-a,a) → ℝ x ↦ x² • h(x) ist differenzierbar in x₀ = 0.

Answer 1

Sei \(h:\ (-a,a)\rightarrow \mathbb{R}\) für \(a>0\) beschränkt, d.h. \(\exists M\in \mathbb{R}^+\ \forall x\in (-a,a): \ |h(x)|\leq M\).

1.) Beweis über das Epsilon-Delta-Kriterium (\(x_0=0\)):

Sei \(\epsilon>0\). Dann existiert ein \(\delta=\frac{1}{M}\cdot \epsilon\), sodass für alle \(x\in (-a,a), \ |x-0|=|x|<\delta\) gilt:

\(|f(x)-f(0)| = |x\cdot h(x)-0\cdot h(0)| = |x\cdot h(x)| = |x| \cdot |h(x)| < \frac{1}{M}\cdot \epsilon \cdot M = \epsilon\)

Also ist die Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0=0\) stetig.

2.) Wähle z.B. \(h(x)=\begin{cases} -1, \ x<0 \\ 1, \ x\geq 0 \end{cases}\), dann ist \(f(x)=\begin{cases} -x, \ x<0 \\ x, \ x\geq 0 \end{cases} = |x|\).

3.) Beweis über die Definition der Differenzierbarkeit (\(x_0=0\)):

\(\frac{g(0+s)-g(0)}{s} = \frac{g(s)-g(0)}{s} = \frac{s^2 \cdot h(s) - 0^2\cdot h(0)}{s} = \frac{s^2\cdot h(s)}{s} = s\cdot h(s) \xrightarrow{s\to 0} 0\cdot h(0) = 0\)

Damit ist die Funktion \(g\) in \(x_0=0\) differenzierbar.