Wie muss man bei gegebenem Kanalumfang U=10m die Rechtecksseiten wählen, damit die Querschnittsfläche (d.h das …

Question

Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie muss man bei gegebenem Kanalumfang U=10m die Rechtecksseiten wählen, damit die Querschnittsfläche (d.h das Fassungsvermögen des Kanals) möglichst groß wird? Auf die Untersuchung der Randwerte kann verzichtet werden.

Ich habe schon einige Ansätze sowie die Lösungen, nur leider komme ich nicht auf den richtigen Rechenweg.

HB: A=a.b+ 1/2 phi x (1/2b)²

NB: U=2a+b+1/2 phi x b

Lösungen: b=2,8

                A=7m²

Answer 1

A=a.b+ 1/2 pi x (1/2b)²  = ab + pi*b^2 / 8

NB: U=2a+b+1/2 pi x b = 10 ==>   a = 5 - b/2 - pi*b/4

also A = (5 - b/2 - pi*b/4)*b + pi*b^2 / 8  = 5b - b^2/2 - pi*b^2/8

==> A ' =  5  - b - b*pi/4 = 5 -(1+pi/4) * b

A ' = 0 ==>  b = 5 /  ( 1+pi/4) = 2,8

Answer 2

$$A(x)=x^2*π/8+x*(U/2-x(1/2+π/4)$$

$$A(x)=x^2*(-π/8-1/2)+5x$$

$$A'(x)=x*(-π/4-1)+5=0$$$$x(1+π/4)=5$$$$ x=5/(1+π/4)$$

$$x≈2,800m$$

$$A(2,8)=2,8^2*(-π/8-1/2)+5*2,8$$$$A(2,8)≈7,00m^2$$