Mit Produktzeichen mit Induktion beweisen?

Question

Aufgabe:

4. Aufgabe: Das Produktzeichen ( \( \prod \) ) ist definiert durch

\( \prod \limits_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n} \quad \text { mit } \quad a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R} \)

Beweisen Sie für \( n \in \mathbb{N}: \)

\( \prod \limits_{i=0}^{n}\left(2^{2^{i}}+1\right)=2^{2^{n+1}}-1 \)

Answer 1

Beginne mit dem Induktionsanfang.

Hinweis: Für n=1 besteht das "Produkt" nur aus dem Faktor a₁.

Answer 2

Für n=0 ist es ja wahr.

Wenn es für ein n gilt, dann ist das Produkt bis n+1

ja gleich dem Produkt bis n (davor setzt du

die Ind.annahme ein) mal dem Faktor für n+1 also

$$(2^{2^{n+1}}-1)\cdot(2^{2^{n+1}}+1)$$

und wenn du das ausrechnest, hast du das was in der

Behauptung für n+1 auf der rechten Seite steht,

Comments

Sicher ist es richtig, doch es ist nicht offensichtlich, dass

$$2 ^{2^{n+1}}*2^{2^{n+1}}=2^{2^{(n+1)+1}}$$

Answer 3

Ind. Anfang

$$ \prod_{i=0}^{0}{(2^{2^{i}}+1)}=2^1+1=3$$$$=4-1=2^2-1=2 ^{2^{0+1}}-1 $$

Ind.Annahme

$$ \prod_{i=0}^{n}{(2^{2^{i}}+1)}=2 ^{2^{n+1}}-1 $$$$ \prod_{i=0}^{n+1}{(2^{2^{i}}+1)}=(2 ^{2^{n+1}}-1)*(2^{2^{n+1}}+1)$$$$=2^{2^{n+1}}*2^{2^{n+1}}-1=2^{2^{n+1}+2^{n+1}}-1$$$$=2^{2*2^{(n+1)}}-1=2^{2^{(n+1)+1}}-1$$

Ind. Schluss

wzzw