Question

Es sei U:= { x ∈  R³: x₁³ − x₂x₃ > 0}. Zeige, daß U⊆R³ offen ist.

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Hallo

Merkregel:

\(f\) ist stetig genau dann, wenn Urbilder offener Mengen offen sind.

setze \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, \, x\mapsto x_1^3-x_2x_3\). \(f\) ist stetig als Komposition stetiger Funktionen. Die Menge \(U\) ist Urbild der offenen Menge\(A=\{y\in \mathbb{R} : y>0\}\subseteq \mathbb{R}\). Wegen der Stetigkeit von \(f\) ist \(U=f^{-1}(A)\) offen.

Comments

Hallo,

ist nicht eher \(A:=\{y \in \mathbb{R}: y >0\}\) und \(U=f^{-1}(A)\)?

Gruß

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Ja, genau. Das habe ich falsch aufgeschrieben. Der Merksatz legt die Vermutung nahe, dass \(f^{-1}(A)\) gemeint war. Andernfalls würde die Argumentationsstruktur in sich zusammenbrechen. Danke für den Hinweis.