topologischer Sinus, offen und zusammenhängend

Question

Aufgabe:

Wir definieren den topologischen Sinus als den topologischen Raum X = {(x, f(x)) | x ∈ ℝ}, versehen mit der von ℝ² induzierten Spurtopologie. Dabei sei f die Funktion

f = ({sin(1/x)  x > 0, 0  sonst)_x∈ℝ

(1) Sei π₁ : ℝ² → ℝ die Projektion auf die erste Komponente. Zeige, dass π₁ offen ist, d.h. offene Mengen auf offene Mengen abbildet.

(2) Benutze das Ergebnis um zu zeigen, dass X zusammenhängend ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen. Kann mir vielleicht jemand helfen ? Danke.

Answer 1

Zu (1):

Sei \(O\subset \mathbb{R}^2\) eine offene Menge. Wir betrachten die von der

Norm \(\|(x,y)\|=\max(|x|,|y|)\) herkommende Metrik, die ja bekanntermaßen

dieselbe Topologie erzeugt wie die euklidische.

Ist nun \(x\in \pi_1(O)\), dann gibt es \(y\in \mathbb{R}\), so dass

\((x,y)\in O\). Da \(O\) offen ist, gibt es \(\epsilon>0\) mit

\(U_{\epsilon}((x,y))\subset O\), also \((x-\epsilon,x+\epsilon)\times (y-\epsilon,y+\epsilon)\subset O\).

Es ergibt sich \((x-\epsilon,x+\epsilon)\subset \pi_1(O)\).

Folglich ist \(\pi_1(O)\) offen.

Answer 2

Hallo,

leider habe ich im Moment keine Zeit die Frage vollständig zu beantworten, aber vielleicht kann ich schonmal ein paar Denkanstöße geben.

Zu (2): Mit (1) lässt sich leicht zeigen, dass \(\phi_1:X\to\mathbb{R}\) mit \((x,f(x))\mapsto x\) offen ist. Dann ist der Rest das überprüfen der Definition für Zusammenhang.
Seien \(U,V\subseteq X\) offen mit \(U\cup V=X,\,U\cap V=\emptyset\). Dann ist z.z. \(U=\emptyset\) oder \(V=\emptyset\).

Nun sind aber \(\phi(U)\) und \(\phi(V)\) offen in \(\mathbb R\) und \(\phi(U)\cup\phi(V)=\phi(U\cup V)=\phi(X)=\mathbb R\). Weiterhin ist \(\phi(U)\cap\phi(V)=\emptyset\) (Warum?). Da \(\mathbb R\) zusammenhängend ist muss nun nach Definition entweder \(\phi(U)=\emptyset\) oder \(\phi(V)=\emptyset\) und damit ist die Behauptung gezeigt.

Ich hoffe es hilft schonmal etwas, ich antworte auch gerne auf alle Fragen wenn ich wieder Zeit habe.

LG Dojima

Comments

Das sollte dem Fragesteller durchaus helfen. Er/Sie müsste

nur noch geeignete (besonders "kritische") \(U,V\) ausgucken.

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Auf jeden Fall. Vielen lieben Dank an auch beide für die Mühe. Jetzt habe ich es verstanden :)