Gesucht ist das Volumen des Tetraeders.

Question

Aufgabe:

Gesucht ist das Volumen eines Tetraeders.

Ich bekomme einfach nichts raus

Problem/Ansatz:

Gesucht ist das Volumen des Tetraeders.

Einheiten in Meter

Gegeben:

$$P_1(1814; 159;265)$$$$P_2(1274: 735; 697)$$$$P_3(314;159;265)$$

$$|P_1P_4|=2500m$$$$|P_2P_4|=1600m$$$$|P_3P_4|=2000m$$

Comments

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Answer 1

Aloha :)

Korrektur: Es fehlte die Berechnung der Koordinaten von Punkt 4 aus den Gleichungen:$$(x-1814)^2+(y-159)^2+(z-265)^2=2500^2$$$$(x-1274)^2+(y-735)^2+(z-697)^2=1600^2$$$$(x-314)^2+(y-159)^2+(z-265)^2=2000^2=1600^2+1200^2$$Der \(\pi\)-Punkt \((314;159;265)\) in der letzten Gleichung ist extrem auffällig und vermutlich als Hinweis vom Aufgabensteller gemeint. Weiter ist auffällig, dass \(2000^2=1600^2+1200^2\) ist. Also habe ich mit der letzten Gleichung ein wenig gespielt und \(x,y,z\) so gewählt, dass die Quadrate \(0,1200,1600\) rauskamen. Das führte schnell auf den Punkt \(P_4(314;1759;1465)\).

Über das von den 3 Vektoren aufgespannte Volumen (Spat) gibt die Determinante Auskunft. Alle Körper, die in einer Spitze enden, haben das Volumen \(\frac{1}{3}\) mal Grundfläche mal Höhe. Das Volumen einer Pyramide wäre also \(\frac{1}{3}\) mal die Determinate. Ein Tetraeder hat eine dreieckige Grundfläche, wodruch sich das Volumen gegenüber einer Pyramide halbiert. Das Volumen eines Tetraeders ist also \(\frac{1}{6}\) mal der Determinante der aufspannenden Vektoren. Letzere sind:$$\overrightarrow{P_1P_2}=\begin{pmatrix}-540\\576\\432\end{pmatrix}\quad;\quad\overrightarrow{P_1P_3}=\begin{pmatrix}-1500\\0\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\overrightarrow{P_1P_4}=\begin{pmatrix}-1500\\1600\\1200\end{pmatrix}$$Das gesuchte Volumen ist daher:$$V=\frac{1}{6}\begin{vmatrix}-540 & -1500 & -1500\\576 & 0 & 1600\\432 & 0 & 1200\end{vmatrix}=\frac{1500}{6}(576\cdot1200-432\cdot1600)=0$$Die 4 Punkte liegen alle in einer Ebene und spannen überhaupt kein 3-dimensionales Volumen auf. Daher ist das Volumen gleich null.

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Aloha @all :)

Danke für eure Hinweise, ich hatte die Aufgabe zuerst falsch verstanden.

Ich hatte übersehen, dass der Punkt \(P_4\) erst noch bestimmt werden muss, daher habe ich meine Antwort entsprechend ergänzt. Jetzt sollte alles stimmen.

Answer 2

Hallo,

die Punkte \(P_i\) (\(i\in \{1,2,3\}\)) sind komplanar und liegen alle in der Ebene \(E\, : \, -48x-6045y+8000z=1071773\).

Der Schwerpunkt von \(\Delta P_1P_2P_3\) ist \(S=(1134,351,406)\). Der Punkt, den du suchst, liegt auf \(g\, : \, \vec{x}=\overrightarrow{OS}+t\vec{v}\), wobei \(v\) ein beliebiger Vektor ist, der senkrecht auf \(E\) steht.

Nun fragst du dich, wo der Punkt auf der Geraden liegt mit den entsprechenden Abständen, die du gegeben hast.

Funfact: Es gibt gar kein Tetraeder, sondern nur vier Punkte in einer Ebene.

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Wo der Punkt liegt, ist nicht gefragt, da kann es ja auch mehr Lösungen geben. Ich soll das Volumen berechnen, doch ich bekomme nichts raus.

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Wo der Punkt liegt, ist nicht gefragt, da kann es ja auch mehr Lösungen geben.

Eigentlich nur 2, denn der Fußpunkt der Höhe eines Tetraeders ist der Flächenschwerpunkt der Grundfläche.

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Wenn du P_4 hast, kannst du das Volumen leicht berechnen.

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"Eigentlich nur 2, denn der Fußpunkt der Höhe eines Tetraeders ist der Flächenschwerpunkt der Grundfläche."

Das mit dem Schwerpunkt verstehe ich nicht. Bei meinem Tetraeder liegt der Fußpunkt mit Sicherheit sogar außerhalb der Grundfläche. Siehe dazu die anderen Lösungen.

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Dann weiß ich um ehrlich zu sein nicht, was dein Problem genau bei der Aufgabe war.

der Punkt P_4 besteht aus drei Koordinanten, die du über die drei bedingungsgleichungen klar bestimmen kannst.

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Das ist einfach ein GS mit drei Variablen und drei gleichungen.

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P4 hat die Koordinaten

(314;1759;1465)

Was der Schwerpunkt damit zu tun hat, verstehe ich nicht.

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Ja, der liegt auch in der Ebene. Ich habe versucht, ausgegangen von der Existenz des Tetraeders (die ich fälschlicherweise) angenommen habe, P_4 zu konstruieren.

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Entschuldigung, doch das mit dem Schwerpunkt der Fläche habe ich immer noch nicht verstanden.

Nehmen wir mal an der Punkt P4 liegt nicht in der Ebene, sondern ich hätte die Längen

$$|P_1P_4|=2915,48m$$$$|P_2P_4|=2193,17m$$$$|P_3P_4|=2500m$$

Wenn ich es richtig gemacht habe haben wir jetzt einen richtigen Tetraeder, wie geht das dann mit dem Schwerpunkt der Fläche?

Answer 3

Ich bekomme heraus das P4 in der Ebene von P1, P2 und P3 liegt und Es damit nur ein Dreieck ist.

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Darum habe ich einfach nichts raus bekommen, denn das  Volumen des Tetraeders war Null.

Danke für die Hilfe