Lösung einer logistischen Differentialgleichung

Question

Ich habe eine Frage zu einer logischtischen Differentialgleichung.

Wir sollen die Methode der Trennung der Variablen verwenden, um eine Lösung zu dieser logistischen DGL zu finden:

y' = a*y - b*y², y(0) = y₀  wobei a,b,y₀ eine reelle Zahl größer Null ist.

Wie geht man da vor und wie wird logistische DGL richtig definiert. Leider bringen mir diese mathematischen Formulierungen nichts.

Answer 1

Hallo,

Zuerst Berechnung ohne AWB:

y' = a*y - b*y²

dy/dx= y(a -by)

\( \frac{dy}{y(a-by)} \)  =dx

linke Seite Partialbruchzerlegung:

------>

(\( \frac{1}{ay } \) +\( \frac{b}{a(a-by)} \))dy = dx

dann Integrieren:

(ln|y| -ln|by -a|)/a = x+C

--------->Umstellen nach y :

In das Ergebnis dann noch die AWB einsetzen.

Comments

Danke. Warum muss ich hier eine Partialbruchzerlegung machen?Ich hätte bis \( \frac{dy}{ay - by^2} \) = dt umgeformt und das dann integriert, sodass man auf die Lösung \( \frac{ln(|ax-by^2|)}{a} \) +c₁ = x+c₂ kommt. Das kann man ja dann auch schreiben als \( \frac{ln(|ax-by2|)}{a} \) = x+c (da ich hier c= c₂-c₁).

Und wie setzt man das in die AWB ein. Ich hatte sowas leider nie.

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Ich hab falsch integriert:

\( \frac{ln(|(a/x) -b|)}{a} \) +c₁ = t +c₂ würde man erhalten

Und ich habe nochmal in meinen Unterlagen nachgeschaut und dort wird als Lösung y(x) = \( \frac{a}{b+ (\frac{a}{y_0} )* e^{-ax}} \) angegeben. Aber wie kommt man darauf?

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Du mußt in mein Ergebnis einsetzen:

y=y₀ und

x=0

dann bekommst Du C1 .

Das mußt Du dann in die Lösung einsetzen.

Zugegeben es ist etwas Schreibarbeit.

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ich habe probleme beim auflösen nach y. wie soll da der angegeben term raus kommen? der Zähler ist bei mir gleich, aber unten habe ich das b immer nur mit dem e^a(xc) zusammen und nicht mit eins