Wieso bekomme ich einen kritischen Punkt, wenn ich den Gradienten auf 0 setze?A

Question

Aufgabe:

Verständnisfrage: Ich habe mir jetzt die Theorie nochmals durchgelesen und hätte eine Frage zu den kritischen Punkten.

Ein Gradient ist ja immer senkrecht zur Niveaulinie/Höhelinie und bewegt sich zum höchsten Potential. Also zur höchsten Änderung. Wieso bekomme ich einen kritischen Punkt, wenn ich den Gradienten auf 0 setze?

Problem/Ansatz:

Meine Überlegung:

Wenn wir im 1-dimensionalen Fall die Extremstellen berechnen, hat man ja folgende Bedingung:

Wenn ich eine Funktion f(x) habe und die ableite, schneidet f'(x) die X-Achse genau an den Maxima und Minima. Die Wendepunkte in f(x) sind in f'(x) meine neue Maxima und Minima. Wenn ich also die NST von f'(x) in f(x) einsetze, bekomme ich MAX und MIN.

Beim Gradienten bekomme ich dann die kritischen Punkte, welche ich in der Hesse-Matrix verwerte. Ist das dann sozusagen das gleiche, wie wenn ich die NST von f'(x) in f(x) einsetze? Oder überlege ich da falsch?

Answer 1

Aloha :)

Die Änderung einer Funktion \(f(\vec r)\) für kleine Änderungen \(\Delta\vec r\) ist:$$\Delta f\approx\operatorname{grad}(f)\cdot\Delta\vec r$$Für infinitesimale Änderungen gilt Gleichheit:$$df=\operatorname{grad}(f)\cdot d\vec r$$Legt man nun \(d\vec r\) in eine Richtung, entlang der sich \(df\) nicht ändert, gilt:$$0=\operatorname{grad}(f)\cdot d\vec r$$Das liefert die gewohnte Interpreatation des Gradienten, dass dieser nämlich senkrecht auf Konstanzflächen \(f(\vec r)=\text{const}\) steht.

In einem Extremum jedoch muss \(df=0\) für jede noch so beliebige infinitesimale Änderung \(d\vec r\) gelten. Das bedeutet, dass \(\operatorname{grad}(f)=\vec 0\) sein muss.