Aloha :)
$$f(x,y)=5-\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}y\quad;\quad g(x,y)=9x^2+4y^2-36\stackrel!=0$$
Nach Lagrange müssen der Gradient der zu optimierenden Funktion und der Gradeint der Nebenbedingung kollinear sein, d.h. es gibt einen Faktor \(\lambda\), den sog. Lagrange-Multiplikator, mit dem man den Gradienten der Nebenbedingung multiplizieren muss, um den Gradienten der Funktion zu erhalten:$$\operatorname{grad}(f)=\lambda\cdot\operatorname{grad}(g)\quad;\quad\lambda\ne0$$In den allermeisten Fällen, ist dieser Faktor \(\lambda\) völlig uninteressant. Um ihn wenigstens ein bisschen interessant zu machen, wird manchmal in der Aufgabenstellung nach ihm gefragt. Die entscheidende Information steckt in der Kollinearität der Gradienten. Das bedeutet nämlich, dass die Determinante aus den Gradienten verschwinden muss:
$$0\stackrel!=\begin{vmatrix}\partial_x f & \partial_x g\\\partial_y f & \partial_y g\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}-\frac{1}{2} & 18x\\-\frac{5}{4} & 8y\end{vmatrix}=-4y+\frac{45}{2}x\quad\Rightarrow\quad y=\frac{45}{8}x$$Diese Forderung setzen wir nun in die Nebenbedingung ein:$$0=9x^2+4\left(\frac{45}{8}x\right)^2-36=\frac{2169}{16}x^2-36\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{36\cdot16}{2169}}=\pm\frac{8}{\sqrt{241}}$$$$4y^2=36-9x^2=36-9\cdot\frac{64}{241}=\frac{8100}{241}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{\frac{8100/4}{241}}=\pm\frac{45}{\sqrt{241}}$$
Damit bekommst du 2 mögliche Kandidaten für Extremstellen, weil wegen \(y=\frac{45}{8}x\) die Vorzeichen von \(x\) und \(y\) gleich sein müssen:$$\left(\frac{8}{\sqrt{241}}\,\;;\;\frac{45}{\sqrt{241}}\,\right)\quad;\quad\left(\frac{-8}{\sqrt{241}}\,\;;\;\frac{-45}{\sqrt{241}}\,\right)$$
Wenn du dir nun die Funktion \(f(x,y)\) ansiehst, ist klar, dass sie minimal ist, wenn du 2 positive Werte subtrahierst und maximal, wenn du 2 negative Werte subtrahierst. Das heißt:$$\text{Maximum bei }\left(\frac{-8}{\sqrt{241}}\,\;;\;\frac{-45}{\sqrt{241}}\,\right)\quad;\quad\text{Minimum bei }\left(\frac{8}{\sqrt{241}}\,\;;\;\frac{45}{\sqrt{241}}\,\right)$$
