Aufgabe:
Zeigen Sie: Für eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) und Vektoren \( b \in \mathbb{R}^{m}, c \in \mathbb{R}^{n} \) gilt genau eine der folgenden Alternativen:
(i) \( A x=0, \; c^{T} x=1,\; x \geq 0 \) ist lösbar
(ii) \( A^{T} y \geq c \) ist lösbar
Hinweis: Wenden Sie dazu das Farkas Lemma an.
Problem/Ansatz:
Bei dem Beweis finde ich keinen Ansatz.
Farkas Lemma haben wir in der Vorlesung so kennengelernt:
Lemma 2.15 (Farkas-Lemma) Für eine gegebene Matrix \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) und einen Vektor \( b \in \mathbb{R}^{m} \) hat genau eines der folgenden Systeme eine Lösung:
$$\begin{aligned}\text{(i) }&&\begin{aligned}A x&=b \\ x &\geq 0\end{aligned}&&&&&&&& \text{ (ii) }&&\begin{aligned} A^{T} y &\geq 0 \\ b^{T}y&<0\end{aligned}\end{aligned}$$
Damit ist man ja schon sehr nah dran, aber ich finde keinen sinnvollen Anfang.
