bestimmen Sie die Konvergenz dieser Reihe.

Question

Aufgabe:

bestimmen Sie die Konvergenz dieser Reihe. Welche Kriterien verwenden Sie dabei? $$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{1+n^{2}} $$ Problem/Ansatz:

auf den ersten Blick konvergiert diese Reihe für mich (Nennergrad > Zählergrad) aber das Majorantenkriterium läuft bei mir ins Leere: n/n^2 und das ist 1/n und die harmonische Reihe divergiert bekanntlich :(

Answer 1

Ja, man kann die Divergenz nachweisen. Dazu vergrößern wir z.B. den Nenner von 1+n² auf n²+n² (=2n²) und verkleinern damit den Bruch. Obwohl wir den Bruch verkleinern, liegt Divergenz vor, denn \( \frac{n}{2n²} = 0,5\cdot  \frac{1}{n} \).

Comments

verstehe danke! woher weiß ich, dass das eine divergente Reihe ist? Ich hätte jetzt krampfhaft versucht zu beweisen, dass sie konvergent ist

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Ich weiß nicht, WOHER du das weißt, aber du weißt es. Ich erinnere dich an

und das ist 1/n und die harmonische Reihe divergiert bekanntlich :(

Answer 2

Aloha :)

Für die Konvergenz der Reihe muss die Folge \((a_n)=\frac{n}{1+n^2}\) eine Nullfolge sein. Es muss aber zusätzlich auch die Folge \((n\cdot a_n)\) eine Nullfolge sein (Satz von Olivier).

$$\lim\limits_{n\to\infty}(n\cdot a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^2}{1+n^2}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+1-1}{n^2+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+1}{n^2+1}-\frac{1}{n^2+1}\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^2+1}\right)=1\ne0$$Die Reihe ist divergent.