Möglichst kleine Konstante finden

Question

Sei f ∈ C⁴ ([0,1]).

Wie kann ich eine möglichst kleine Konstante c finden, so dass für x, y ∈ [0,1] gilt:

$$\left\lvert\frac{f(x) - f(y)}{x-y} - \frac{f'(x) + f'(y)}{2} \right\rvert \leq c\left\lvert x-y \right\rvert^2 \max_{\xi \in [0,1]}\left\lvert f'''(\xi)\right\rvert$$

Comments

ohne f(x) zu kennen kannst du das wohl nicht, (für f(x)=x^2 ist es falsch!)

lul

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Hallo,

verwende für f(y) die Taylor-Entwicklung um den Punkt x bis zur Ordnung 2, also Restglied der Ordnung 3 (Lagrange). Und für f'(y) die Taylor-Entwicklung um den Punkt x bis zur Ordnung 1, also Restglied der Ordnung 3. Dann hebt sich alles weg und es bleiben 2 Terme der Restglieder mit der 3. Ableitung stehen.

Warum f viermal differenzierbar sein soll, weiß ich nicht.

Die Frage ist noch, ob Ihr eine kleinere Konstante finden sollt als durch den oben beschriebenen Weg. Dann könnte mna ähnlich aber mit Restglied in Integralform - wenn Ihr das hattet.

Gruß

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Hallo Peter

du willst die Formel beweisen, find ich gut, aber gefragt war nach kleinem c.

Gruß lul