(Transponieren) AT(B-1 C+A) = (CTB-TA+ATA)T

Question

Aufgabe: Sei n∈Ν und K Körper, zeigen Sie dass für A,B,C ∈GL (n,K) gilt:

A^T(B^-1 C+A) = (C^TB^-TA+A^TA)^T

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, welche Regel ich hier benutzen soll, um es lösen zu können!

Comments

Das kann man leider nicht lesen.

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Könntest du mal bitte Klammern setzen und schauen, was hoch- und was tiefgestellt ist. Ich verstehe den Ausdruck nicht genau.

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ist es so besser?

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Fast, es muss auf der rechten Seite \((B^{-1})^T\) heißen ;)

Answer 1

Aloha :)

$$A^T(B^{-1}C+A)\stackrel{(1)}{=}A^T(\;(B^{-1}C+A)^T\;)^T\stackrel{(2)}{=}A^T(\;(B^{-1}C)^T+A^T\;)^T$$$$\stackrel{(3)}{=}(\;(\;(B^{-1}C)^T+A^T)\;A)^T\stackrel{(3)}{=}(\;C^T{(B^{-1})}^T +A^TA\;)^T$$

Regel (1): \(X=(X^T)^T\)

Regel (2): \((X+Y)^T=X^T+Y^T\)

Regel (3): \((XY)^T=Y^TX^T\)

Comments

also wäre es regel 3? :D

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Über den Gleichheitszeichen habe ich geschrieben, welche Regel verwendet wurde.