Ganzrationale Funktionen ~ Verhalten im Unendlichen

Question

Also ich habe die Funktion

f(x)=2x⁴ - 8x² - 10

und ich weiß nicht wie ich das mit dem Verhalten im Unendlichen machen soll QwQ

ich weiß nur das Irgendwie :

wenn x gegen -  unendlich dann ist f(x) somit + unendlich

wenn x gegen + unendlich dann ist f(x) somit - unendlich

oder ??

Comments

Überlege nochmal genau !

Wenn x gegen - unendlich, wird dann im Endeffekt der Wert positiv oder negativ ?

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Besser nochmals ansehen:

Wenn x gegen + unendlich, wird dann im Endeffekt der Wert positiv oder negativ ?

Answer 1

f(x)=2x⁴ - 8x² - 10

Du hast hier eine sog. gerade Funktion. Sie besitzt nur gerade Potenzen von x. Daher gilt immer

f(x)=2x⁴ - 8x² - 10 = f(-x)=2(-x)⁴ - 8(-x)² - 10

Ob nun x gegen + oder - unendlich geht, kommt dasselbe raus.

Da x^4 für grosse x immer 'stärker' ist als x^2 und die 2 vor x^4 nicht negativ ist, ergibt sich

wenn x gegen -  unendlich dann ist f(x) somit + unendlich

wenn x gegen + unendlich dann ist f(x) somit + unendlich

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D2x%5E4+-+8x%5E2+-+10

Answer 2

  hier noch eine einfachere Variante

  f ( x ) = 2 x ⁴ - 8 x ² - 10  l x^2 ausklammern
  f ( x ) = x^2 ( 2x^2 - 8 ) - 10 

  Bei lim x -> ±∞ ergibt sich

  x^2 = +∞  l durch die gerade Hochzahl
 ( 2x^2 - 8 ) reduziert sich zu 2x^2 = +∞
 - 10 spielt keine Rolle mehr, entfällt

Es bleibt

  lim x -> ±∞ : f ( x ) = x^2 * 2x^2 = 2x^4 = +∞

  mfg Georg

Answer 3

f ( x ) = 2 x ⁴ - 8 x ² - 10

Klammere x ⁴ aus:

= x ⁴ ( 2 - ( 8 / x ² ) - ( 10 / x ⁴ ) )

und überlege nun, was passiert, wenn x gegen +∞bzw. -∞ geht ...

Wie du bestimmt erkennst, gehen dann die Ausdrücke ( 8 / x ² ) und ( 10 / x ⁴ )  beide gegen Null, da die Nenner jeweils gegen unendlich gehen.
Das aber bedeutet, dass dann der Ausdruck ( 2 - ( 8 / x ² ) - ( 10 / x ⁴ ) ) gegen 2 geht.
Damit aber geht der gesamte Funktionsterm x ⁴ ( 2 - ( 8 / x ² ) - ( 10 / x ⁴ ) ) gegen 2 x ⁴ und dieser Term wiederum geht sowohl für x gegen +∞ als auch für x gegen -∞ gegen +∞.

Mathematisch schreibt man das so:

$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ 2{ x }^{ 4 }-8{ x }^{ 2 }-10 }$$$$=\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { x }^{ 4 }(2-\frac { 8 }{ { x }^{ 2 } } -\frac { 10 }{ { x }^{ 4 } }  } )$$$$=\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ { 2x }^{ 4 } }$$$$=\infty$$bzw.$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ 2{ x }^{ 4 }-8{ x }^{ 2 }-10 }$$$$=\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ { x }^{ 4 }(2-\frac { 8 }{ { x }^{ 2 } } -\frac { 10 }{ { x }^{ 4 } }  } )$$$$=\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ { 2x }^{ 4 } }$$$$=\infty$$
Dabei bedeutet$$\lim _{ (Bedingung) }{ Term }$$dass der Grenzwert (Limes) des Terms unter der angegebenen Bedingung betrachtet werden soll.