Komplexe Zahl hoch 8 berechnen

Question

Aufgabe:

Guten Tage liebe Mathelounge,

Ich habe folgende Komplexe zahl:

z₂ = \( \sqrt{2} \)(1+i)

Hierbei soll ich z⁸_{2 berechnen}
Problem/Ansatz:

Ich bin etwas verwirrt, ich würde jetzt einfach ( \( \sqrt{2} \)(1+i))⁸  

rechnen, was mir aber irgendwie falsch aussieht. Hat jemand einen Tipp

Answer 1

Das ist vollkommen richtig, du sollst $$\left(\sqrt{2}(1+i)\right)^{\!8}$$ berechnen. Ziehe den Exponenten in das Produkt rein: $$\tag{$*$} \sqrt{2}^8\cdot (1+i)^8=2^{8/2}(1+i)^8.$$ Jetzt denke noch daran, dass \(i^2=-1\) ist und demnach folgt: $$(1+i)^8=\left(\left((1+i)^2\right)^2\right)^2=\left((2i)^2\right)^2=(-4)^2=16.$$ Einsetzen in \((*)\) ergibt dann: \(2^{8/2}\cdot 16= 2^4\cdot 16 = 16\cdot 16 = 256\)

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auf jeden fall danke für deine Antwort, hat mir echt weitergeholfen

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Klar, gerne!

Answer 2

Aloha :)

Das funktioniert zwar, ist aber die Bauern-Methode, denn dann musst du ja die binomische Formel für die 8-te Potenz ausrechnen. Hier ist es besser, die Zahl in Polardarstellung umzuwandeln:$$(1+i)=\sqrt{1^2+1^2}\cdot e^{i\arctan(\frac{1}{1})}=\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}}$$$$z^8=(\sqrt2\underbrace{(1+i)}_{=\sqrt2\cdot e^{i\pi/4}})^8=(2\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}})^8=2^8\cdot e^{i\,\frac{\pi}{4}\cdot 8}=256\cdot \underbrace{e^{i\,2\pi}}_{=1}=256$$

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auch danke für deine Antwort, war wie alle antworten hier echt hilfreich

Answer 3

$$z_2 =\sqrt{2} *(1+i)$$

$$φ=45°$$

$$8φ=360°=0°$$

$$z_2^8=|z_2|^8=(2*2)^4=256$$

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danke für die Antwort =)

Answer 4

1+i hat den Betrag √2 und den Winkel 45°.

8*45°=360°

Also ist das Ergebnis reell.

√2*√2=2

2^8=256

:-)

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auch dir danke für die Antwort =)