Mit Theons Näherungsverfahren die ersten 5 Nachkommstellen von Wurzel 2 bestimmen

Question

wie kann man mit dem Näherungsverfahren von Theon die ersten fünf Nachkommstellen von √2 bestimmen, ausgehend von 7/5. Ich habe die Aufgabe im Internet gefunden und möchte sie lösen, doch eine Lösung steht nicht dabei.

Rechnung:

7/5 = 1,4 

---> (7+2*5)/(5+7) = 1,41666666....

----> (17+2*12)/(12+17) = 1,413793....

----> ...

Wann weiß ich, wann es sich bei den Nachkommastellen von  (a+2*b)/(a+b) auch bereits um eine Nachkommastelle von   Wurzel 2 handelt?

mfg legendär

Comments

Hi

Theon? Meinst du eventuell Heron?

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Nein, ich meine Theon.

Answer 1

Du verfährst vollkommen richtig nach der Methode von

https://de.wikipedia.org/wiki/Theon_von_Smyrna

Abbrechen tust du wenn sich die 5 Nachkommestellen nicht mehr ändern.

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Okay, aber woher soll ich wissen, dass sich die Nachkommastellen nicht mehr verändern. Sie könnten sich doch z.B. 10 Glieder später verändern.

mfg legendär

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Das Theons Näherungsverfahren grenzt ja die Wurzel ein. D.h. die Wurzel liegt immer zwischen den beiden Zuletzt berechneten Werten. Wenn die sich also in der 5. Nachkommestelle nicht mehr unterscheiden hat auch die Wurzel genau diese Nachkommastelle.

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Also wäre es so zu machen:

---> 7/5 = 1,4
---> (7+2*5)/(7+5) = 17/12 = 1,416666...

---> 41/29 = 1,413793...

---> 99/70 = 1,41428...

--->  239/169 = 1,41420...

---> 577/408 = 1,41421...

---> 1393/985 = 1,4142131...

=> Auf 5 Nachkommastellen gerundet: Wurzel(2) = 1,41421

mfg legendär

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Ja genau. Du weißt damit das die Wurzel

1393/985 < Wurzel(2) < 577/408
1,414213 < Wurzel(2) < 1,414216

Damit kann sich die Wurzel also in der 5. Nachkommaziffer nicht mehr ändern.