Exponentialgleichungen, die man nur durch Näherungsverfahren lösen kann?

Question

Aufgabe: In welchen Fall wäre eine Exponentialgleichung/Funktion nur mit einem Näherungsverfahren (z.B. Newton-Verfahren) zu lösen?

Problem/Ansatz: Bin da ehrlich gesagt überfragt, da ich bisher immer mit den Logarithmus weitergekommen bin. Gibt es überhaupt Fälle, bei denen sowas zutrifft?

Answer 1

Algebraisch nicht lösbar sind Gleichungen, in denen ein $x$ sowohl als Summand als auch als Exponent vorkommt.

Beispiele:

$x+ e^x=0$

$x^2-6x+2^x=0$

$\pi^{x^2-6}+2x=0$

uvm.

Zudem lassen sich nach Abel-Ruffini Polynomgleichung fünften oder höheren Grades nicht mehr durch allgemeine Lösungsformeln (wie die pq-Formel z. B.) lösen. Manchmal kann man aber auch einfach eine Nullstelle raten, dann Polynomdivision oder Horner-Schema anwenden, es gibt außerdem den Satz über die rationale Nullstelle uvm.

Generell muss man bei abgefahrenen Gleichungen auf numerische Verfahren zurückgreifen.