Näherungsverfahren zur Bestimmung einer Folge von quadratischen Funktionen

Question

Aufgabe:

Näherungsverfahren zur Bestimmung einer Folge von quadratischen Funktionen

Problem/Ansatz:

Eine quadratische Eingangfunktion soll so bestimmt werden, dass nach Ende der folgenden Berechnungen diese Ausgangsfunktion parallel zur Eingangsfunktion wird / ist.

Hallo liebe Mathefreunde,

gegeben ist die quadratische Funktion f(x)=x², hier mit den Punkten (7;49) , (8;64) und (9;81).

Zu jeweils 2 Sekanten soll die parallele Gerade (verschoben auf der x-Achse) berechnet werden.

Dafür wird das Intervall in 2 Teilintervalle aufgeteilt, sodass es die Sekanten s1(7;49 und 8;64) und s2(8;64 und 9;81) werden.

Die parallelen Geraden verlaufen dann durch g1(-8;49 und -7;64) und g2(-9;64 und -8,81).

Subtraktion beider Geraden g2 - g1 berechnen. Diese neue lineare Funktion soll die 1. Ableitung einer neuen quadratischen Funktion g(x) werden, die in der arithmetischen Folge nach x² das nächste Glied werden soll.

g1 sowie g2 und (nach Verschiebung wegen variablem...+c) auch noch diese neue quadratische Funktion g(x) haben einen identischen Punkt.

Die Funktionen f(x) und g(x) sind jetzt aber noch nicht parallel. Deshalb wird f(x) = g(x) gesetzt und die Berechnung (siehe oben) noch mehrmals wiederholen, sodass auch noch h(x) und eventuell i(x) berechnet werden.

Weil der quadratische Parameter immer gleich ist, braucht man sich nur die Parameter vom linearen Glied ansehen und die Bildungsvorschrift berechnen. Das lineare Glied wird mit jeder weiteren Berechnung immer größer. Jetzt muss man in entgegengesetzter Richtung die quadratischen Funktionen VOR x² bis zur Grenze suchen, davon die 1. Ableitung bilden und die Nullstelle berechnen.

Die Frage ist jetzt: wie kann der Wert für diese Nullstelle durch eine Berechnungsvorschrift von - in dieser Aufgabe - "versteckten" Werten "zusammengesetzt" werden.

Comments

Hallo

Den Text ist schwer verständlich,, spätestens bei f(x)=g(x) damit f und g parallel sind hake ich aus. wenn sich f und g wie x^2 und x^2+a verhalten sind si doch parallel ?

lul

---

Hallo lul,

f(x) und g(x) sind nach der ersten Berechnung NICHT parallel. Deshalb muss ja diese Berechnung mehrmals wiederholt werden.

Iteration = der berechnete Endwert ist in der folgenden Berechnung wiederum der Anfangswert.

die arithmetische Folge ergibt sich dann zu:

f(x)=x² (war bekannt)               g(x)=x² + b1*x + ....   h(x)=x² + b2*x + ....    i(x)=x² + b3*x + ...

und die arithmetische Folge nur für die linearen Glieder ist   0, b1, b2, b3, ...

wie lauten jetzt die Glieder dieser Folge links von 0 ? Welches ist der Grenzwert ?

Ist das jetzt für Dich deutlicher ? (hoffe ich jedenfalls)

Gute Nacht

Viele Grüße von der Weser

Martin

.

---

Vielleicht geht es um den Begriff parallel. Für mich ist jede Parabel f(x)=(x-a)^2+b parallel verschoben zu f(x)=x^2

Wann sind 2 Parabeln für dich parallel?

lul

---

Hallo Martin,

es ist für uns prakisch nicht möglich, Deinen Ausführungen zu folgen !

Nehmen wir mal

Subtraktion beider Geraden g2 - g1 berechnen. Diese neue lineare Funktion soll die 1. Ableitung einer neuen quadratischen Funktion g(x) werden, ...

das ist noch Ok, wenn man mal unterstellt, dass mit "Subtraktion von zwei Geraden" die Subtraktion der Werte für Steigung und Y-Achsenabschnitt gemeint ist (Nein - das ist überhaupt nicht selbstverständlich!).

Danach müsste die Differenz von g2-g1 hier sein:$$g_{12}: \quad y = 2x - 48$$habe ich diesen Teil 1a bis hierher richtig verstanden?

dann kommt aber

... die in der arithmetischen Folge nach x² das nächste Glied werden soll.

Das Relativwort 'die' am Anfang dieses Nebensatzes bezieht sich nach den Regeln der deutschen Grammatik auf "die neue quadratische Funktion \(g(x)\)". Also soll \(g(x)\) ein Glied einer arithmetische Folge sein und zwar nach \(x^2\). D.h. das \(x^2\) ist ebenfalls ein Glied derselben arithmetischen Folge - genauer das Vorgängerglied von \(g(x)\).

nach der Konstruktion vorher hat \(g(x)\) die Form $$g(x)= x^2 + 48x + g_0$$Wobei \(g_0\) noch beliebig ist (wegen Stammfunktion). Bei eine arithmetische Folge 1.(!) Ordung ist die Differenz zwischen zwei Folgegliedern immer konstant.

Das wären hier dann \(g(x)-f(x)= 48x + g_0\).

Habe ich diesen Teil 1b bis hierher richtig verstanden?

Die Funktionen f(x) und g(x) sind jetzt aber noch nicht parallel.

Mag sein - kommt darauf an, was Du unter parallelen Parabeln verstehst!

Deshalb wird f(x) = g(x) gesetzt ...

So geht das nicht! \(g(x)\) ist nach obigen Verständnis nie \(f(x)\). Die Mathematik ist da furchtbar pingelig ;-)

.. und die Berechnung (siehe oben) noch mehrmals wiederholen, sodass auch noch h(x) und eventuell i(x) berechnet werden.

wie meinst Du das? Meinst Du das so, dass die Berechnung bei der aus der Eingansfunktion \(f(x)\)  die Ausgangsfunktion \(g(x)\) wurde *), dass diese Berechnung mit \(g(x)\) als Eingangsfunktion wiederholt wird? Mit den identischen Stützstellen \(\{7,\,8,\,9\}\)?

Gruß Werner

PS.: meine Reaktionen können etwas länger auf sich warten lassen, aber ich bleibe dran ;-)

*) das nennt man in der Mathematik eine Abbildung

---

Hallo lieber Werner,

ich hatte heute morgen ein Telefongespräch mit einer Dauer von über einer Stunde, dann hat mein Nachbar wegen eines Spazierganges geklingelt. Vielen Dank dafür, das Du dran bleibst.

y = 2x - 48 bitte noch einmal überprüfen, weil die Stammfunktion davon dann aber wieder richtig angegeben ist.

g(x) = x² + 48x + g0 ist korrekt.

Die 2 Geraden haben doch irgendwo einen Schnittpunkt und durch genau diesen muss g(x) verschoben werden.

Ja, es handelt sich hier für diese Berechnungen IMMER um die Stützstellen 7, 8 und 9. Dein letzter Satz ist korrekt,

Bitte f(x), g(x) und h(x) nur zusammen vergleichen, welche Ordnung die arithmetische Folge hat.

g(x)-f(x)= 48x + g0 ist ebenfalls richtig, aber es fehlt noch h(x)-g(x).

Parallele Kurven hattest Du ja als Abbildung 1 in der anderen Frage gezeichnet,

Vielen, vielen Dank.

mit freundlichen Grüßen

Martin

---

Hallo lieber Werner,

mir ist da leider ein bedauerlicher Fehler unterlaufen, für den ich um Entschuldigung bitte.

g(x) - f(x)   ,    h(x) - g(x)     ,    i(x) = h(x) wird zu einer     GEOMETRISCHEN     Folge.

Als ich die Berechnung schon früher gemacht hatte, war mir der falsche Begriff irgendwie "untergekommen" und hatte ihn jetzt leider übernommen, aber als ich heute noch einmal die Differenz und dann davon wieder die Differenz gebildet hatte, war es mir vorhin aufgefallen. Ich bitte vielmals um Entschuldigung. ABER: die Berechnung stimmt trotz der falschen Bezeichnung.

Vielen, vielen Dank für Deine Geduld.

Gute Nacht

Martin

---

Hallo Martin,

ein geometrische Folge ist derart definiert, dass jedes Folgeglied sich aus dem Vorgänger durch Multiplikation eines konstanten Faktors ergibt. Das trifft hier nicht zu. In dem Beispiel oben kannst Du \(g(x)=x^2+48x+g_0\) nicht durch Multiplikation eines Faktors aus \(f(x)=x^2\) erzeugen.$$g(x) = q \cdot f(x) \quad q = ??$$

Wie sollte dieser Faktor lauten?

---

Hallo Werner,

Am besten ist es, wenn ich schon einmal vorab aufschreibe, wie die Folge aussehen wird / aussehen müsste / auszusehen hat (Bitte dazu nur die LINEAREN Glieder ansehen)

0                48                       144                     336                 ist ja noch KEINE geometrische Folge, ABER danach entsteht bei allen Differenzen:

      48                    96                   192

                   48                      96

                               48     usw, (deshalb sollte die Berechnung ja mehrmals durchgeführt werden) ! (wobei 0 als erstes Glied hier nur wegen x² + 0*.... gilt) f(x) könnte ja auch jede eine andere Anfangsfunktion sein).

Dann habe ich schon als die nächste Frage, wie denn diese Folge überhaupt heisst ? (diese Folge ist von mir NICHT konstruiert worden, sondern ergibt sich aus den Berechnungen)

Bitte aber dafür erst einmal "normal" weiterrechnen, 1.) was g0 ist, 2.) die nächste neue Wertetabelle erstellen, auf der x-Achse verschieben usw. und dann die 3 Folgeberechnungen ebenfalls ausführen.

(irgenwann in den nächsten Tagen verbinden wir dann das Ganze mit der zweiten offenen Frage und machen dort weiter)

Hinweis:

Jetzt könnte man ja meinen, wenn wir zum Schluss sehen, dass x1+x2+x3 = die Extremstelle ist und wir hier in diesem Beispiel konstant mit 1*x² rechnen, kann man dann natürlich b sofort ausrechnen, aber in der anderen Berechnung hat x² ja den Parameter 200, d.h. dieser Wert ist nur innerhalb dieser Berechnung konstant, im Gesamtprojekt aber variabel.

Zur Erinnerung: die Konstante C der Stammfunktion aus der früheren Berechnung war C = 1159,2 = x1*x2*x3*a und ich hatte ja bereits geschrieben, dass f(x) beim Start der Berechnung noch gar nicht vorlag / vorliegt. Diese Zahlen sind von mir willkürlich gewählt worden, um erst einmal einen definierten Anfang zu haben. In allen Berechnungen kommt der Wert von a woanders her.

Ich hatte ebenfalls zuerst mit x² + .... gerechnet und kam ( mit den anderen Stützstellen) auf x² - 11,2x + 10,11 und sah dann, dass, wenn ich alles mit 200 multipliziere, eben 200x² - 2240x + 2022 rauskommt. (ist aber HIER ein Zufall. Fand ich nur wegen der Jahreszahl schön.)

In der Computerprogrammierung heißen Variablen lokal und global.

Man muss auch unterscheiden zwischen f(x) = 200x² - 2240x + 2022 als Funktion für die Integration mit den Tangenten UND f(x) hier als Anfangsfunktion in dieser Berechnung)

Heute nachmittag und abend sowie morgen früh habe ich leider andere Termine.

Bis morgen.

Vielen, vielen Dank im voraus

Martin

---

Hallo lieber Werner,

doch noch einmal ein weiterer Hinweis.

Mein Gleichungssystem hat mehr als 10 Gleichungen, aber neben 3 Stützstellen NUR eine Konstante und sehr viele Bedingungen.*

Diese Konstante kann eine Fläche oder ein Funktionswert sein.

Von dieser Konstanten abhängig ist u.a. die Unbekannte (Variable) a, die im KOMPLETTEN Projekt immer einen identischen Wert hat.

ABER wenn wir nur eine Teil-Berechnung zur Verdeutlichtung ansehen, hat ja hier a einmal den Wert 1 und einmal den Wert 200. Deshalb kann b nicht so ohne weiteres berechnet werden.

*( Das erinnert mich an die Brücke von Leonardo, die sich selbst zusammenhält.)

Ich hatte gerade gesehen, dass die zweite Frage nicht mehr in der Übersicht vorhanden ist.

Vielen Dank.

Tschüß bis morgen

Martin

---

Hallo lieber Werner,

Deine Antwort:

So geht das nicht! \(g(x)\) ist nach obigen Verständnis nie \(f(x)\). Die Mathematik ist da furchtbar pingelig ;-

JA, ich weiß. Auch bei einer Internetadresse ist jedes richtig gesetzte Zeichen wichtig und notwendig.

ABER:

mir ist gerade eingefallen, das das Leben nicht so pingelig ist. warum eigentlich ? z.B. spricht man von WELTweit ! Das Weltall ist aber 4 - 10 Mrd. Lichtjahre groß und man weiß ja nicht, was dort noch alles an anderem Leben / anderen Naturgesetzen existiert. Demnach müsste es bei uns korrekt ERDENweit heißen. (klingt aber zugegeben nicht so schön.) Meine Antwort hört sich zwar jetzt hier irgendwie "komisch" an, hat aber doch einen logischen Hintergrund. aber sonst natürlich NICHTS mit Mathe zu tun.

Ich meinte nur, dass ich sehr, sehr froh darüber bin, dass Du mir für eventuelle weitere sprachliche "Ausrutscher" nicht böse bist.

Vielen, vielen lieben Dank dafür.

Martin Hümer

---

Hallo Mathefreunde,

diese Zeichnung hat einen Zusammenhang mit einer anderen Frage, wo 2 quadratische Funktionen parallel zueinander laufen. Dieses ist die Herleitung dazu.

Von j(x) = x² wird i(x) berechnet

von i(x) wird h(x) berechnet

von h(x) wird g(x) berechnet und

von g(x) wird f(x) berechnet.

Man sieht, dass sich der lineare Parameter vergrößert.

In entgegengesetzter Richtung gibt es auch VOR j(x) = x² ebenfalls quadratische Funktionen.

Und dann wird der lineare Parameter jedesmal immer kleiner, bis er eine Grenze erreicht und dann sind Eingangs- und Ausgangsfunktionen parallele Kurven.

Gute Nacht

Martin Hümer