Es seien A und B Ereignisse mit 0 < P(B) < 1 Zeige: P(A|B) = P(A|BC) ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B)

Question

Aufgabe:

Es seien A und B Ereignisse mit 0 < P(B) < 1. Zeige:

P(A|B) = P(A|B^C) ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand helfen bitte die Aufgaben zu lösen?

Die sind aus Stochastik Vielen

Answer 1

Nach dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit (mit Baum herleiten) gilt:$$ \begin{aligned} P(A) & = P(A|B)\cdot P(B)+P(A|B^C)\cdot P(B^C) \\ & = P(A|B) \cdot P(B)+P(A| B)\cdot P(B^C) \\ & = P(A|B) \cdot \big(P(B)+P(B^C)\big) \\ & = P(A|B) \cdot 1. \end{aligned} $$Und da nach dem Satz von Bayes überdies \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) gilt, folgt letztlich, dass \(P(A∩B) = P(A)\cdot P(B)\).

Das zeigt formal, was intuitiv ganz ersichtlich ist:

Wenn die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B gleich der Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung von "Nicht B" ist, so scheint es keinen stochastischen Zusammenhang zwischen den beiden zu geben (denn die Information, dass A unter der Bedingung von B (oder eben nicht) geschieht ist nichtssagend): Es folgt Stochastische Unabhängigkeit; genau das sagt \(P(A∩B) = P(A)\cdot P(B)\).

Comments

alles klar, Vielen Dank für Ihre Hilfe! :))

Ich habe noch Aufgabe aus Stochastik, die ich auch nicht lösen konnte. Ich wäre wiriklch sehr dankbar wenn du mir damit helfen würden! Die finden Sie in meinem Profil.

Vielen Dank im Voraus! :))