Nach dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit (mit Baum herleiten) gilt:P(A)=P(A∣B)⋅P(B)+P(A∣BC)⋅P(BC)=P(A∣B)⋅P(B)+P(A∣B)⋅P(BC)=P(A∣B)⋅(P(B)+P(BC))=P(A∣B)⋅1.Und da nach dem Satz von Bayes überdies P(A∣B)=P(B)P(A∩B) gilt, folgt letztlich, dass P(A∩B)=P(A)⋅P(B).
Das zeigt formal, was intuitiv ganz ersichtlich ist:
Wenn die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B gleich der Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung von "Nicht B" ist, so scheint es keinen stochastischen Zusammenhang zwischen den beiden zu geben (denn die Information, dass A unter der Bedingung von B (oder eben nicht) geschieht ist nichtssagend): Es folgt Stochastische Unabhängigkeit; genau das sagt P(A∩B)=P(A)⋅P(B).