Aloha :)
$$\left.1+\ln(x)=2\ln(x-1)\quad\right|\quad e^{\cdots}$$$$\left.e^{1+\ln(x)}=e^{2\ln(x-1)}\quad\right|\quad\text{jede Seite für sich etwas umformen}$$$$\left.e^1\cdot e^{\ln(x)}=e^{\ln((x-1)^2)}\quad\right|\quad\text{Umkehrfunktion hebt Wirkung der Funktion auf}$$$$\left.e\cdot x=(x-1)^2\quad\right|\quad\text{2-te binomische Formel rechts}$$$$\left.e\cdot x=x^2-2x+1\quad\right|\quad-e\cdot x$$$$\left.x^2-2x-e\cdot x+1=0\quad\right|\quad\text{\(x\) ausklammern}$$$$\left.x^2-(2+e)x+1=0\quad\right|\quad\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=\frac{2+e}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2+e}{2}\right)^2-1}=\frac{2+e}{2}\pm\sqrt{\frac{4+4e+e^2}{4}-\frac{4}{4}}$$$$x_{1;2}=\frac{2+e}{2}\pm\sqrt{\frac{4e+e^2}{4}}=\frac{2+e}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{4e+e^2}=1+\frac{e}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{(e+2)^2-4}$$Da die Ursprungsgleichung \(x>1\) voraussetzt, kommt nur die Lösung mit der positiven Wurzel in Betracht:$$x=1+\frac{e}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(e+2)^2-4}\approx4,495855$$
Falls mit \(\log(x)\) der Zehner-Logarithmus gemeint sein sollte, was aber eigentlich \(\lg(x)\) ist, ersetze bitte \(e\) durch \(10\). In diesem Fall ist dann die Lösung \(x=6+\sqrt{35}\).
