Problem beim Lösungsansatz im Induktionsschritt der Vollständigen Induktion mit kleinergleich.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für n ∈ N gilt

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^2}} \) ≤ 2 - \( \frac{1}{n} \)

Problem/Ansatz:

Momentan habe ich:

Induktionsanfang: Für n=1 gilt:

\( \frac{1}{1^2} \) = 1 ≤ 1= 2 - \( \frac{1}{1} \)

Induktionsvorausetztung: Es gelte bereits:

\( \frac{1}{1^2} \) + \( \frac{1}{2^2} \) + … + \( \frac{1}{n^2} \) ≤ 2 - \( \frac{1}{n} \)
Induktionsschritt: Wir zeigen die Aussage für n+1.

\( \frac{1}{1^2} \) + \( \frac{1}{2^2} \) + … + \( \frac{1}{n^2} \) + \( \frac{1}{(n+1)^2} \)  = (\( \frac{1}{1^2} \) + \( \frac{1}{2^2} \) + … + \( \frac{1}{n^2} \))+ (\( \frac{1}{(n+1)^2} \))

≤  (2 - \( \frac{1}{n} \) ) +  \( \frac{1}{(n+1)^2} \)

Nun denke ich, dass ich es zeigen kann, indem ich einen Term finde, der größer als (2 - \( \frac{1}{n} \) ) +  \( \frac{1}{(n+1)^2} \) ist, den ich nach

 2 - \( \frac{1}{(n+1)} \)

umformen kann, nur habe ich seit mehreren Stunden Überlegung und befragung meiner Lerngruppe immer noch keinen Ansatz dazu gefunden.

Answer 1

Du musst doch nur zeigen, dass dein Term 2 -1/n + 1/(n+1)^2  kleiner

als 2 - 1/(n+1) ist. Mache daraus eine Ungelichung

2 -1/n + 1/(n+1)^2  <  2 - 1/(n+1)

<=>  -1/n + 1/(n+1)^2  <  - 1/(n+1)

<=> 1/(n+1)^2  <  1/n - 1/(n+1)  

<=> 1/(n+1)^2  <   1 /(n*(n+1) )

und der linke Bruch hat einen größeren Nenner als der

rechte, also ist er kleiner und die Ungl. stimmt.

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Bringe das, was inter der 2 steht, in einem Bruch unter$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n+1} \frac 1{k^2} & \le \left( 2 - \frac 1n\right) + \frac 1{(n+1)^2} \\ &= 2 - \frac{(n+1)^2 - n}{n(n+1)^2} \\ &= 2 - \frac{n^2 +n +1 }{n(n+1)^2} \\ &\le 2 - \frac{n^2 +n }{n(n+1)^2} \\ &= 2 - \frac{1 }{n+1} \end{aligned}$$Der Trick besteht dann darin, den Zähler des Bruches so weit zu verkleinern, dass man durch \(n(n+1)\) kürzen kann, damit im Nenner der gewünschte Term \((n+1)\) stehen bleibt.

Gruß Werner

Comments

Zeile 2 und 3 ihrer Lösung sind mir unklar, denn

2-\( \frac{(n+1)^2-n}{n(n+1)^2} \) = 2- \( \frac{n^2+2n+1-n}{n(n+1)^2} \) (Zeile 2 umgeformt)

und

2-\( \frac{n^2+2n+1-n}{n(n+1)^2} \) > 2-\( \frac{n^2+2n+1}{n(n+1)^2} \)

und nicht

2-\( \frac{n^2+2n+1-n}{n(n+1)^2} \) = 2-\( \frac{n^2+2n+1}{n(n+1)^2} \)

Oder verstehe ich da etwas falsch?

---

Zeile 2 und 3 ihrer Lösung sind mir unklar

Ja - Zeile 3 enthielt einen Fehler. Den habe ich korrigiert. Im Nenner der Zeile 3 steht $$n^2+n+1$$Lässt man die \(1\) am Ende weg, wird der Bruch kleiner und da vor dem Bruch ein Minuszeichen steht, gilt dann $$2 - \frac{n^2+n+1}{n(n+1)^2} \lt 2 - \frac{n^2+n}{n(n+1)^2} $$

In Zeile 2 hatte ich lediglich die beiden Brüche zu einem zusammen gefasst. Hauptnenner ist \(n(n+1)^2\)