Zeigen Sie, dass X und Y keine leeren Mengen sind.

Question

ich habe folgende Aufgabe:

Aufgabe 1: Seien X und Y die Mengen positiver reeller Zahlen, so dass
x ∈ X ⇐⇒ x² < 2 und y ∈ Y ⇐⇒ y² > 2.

(a) Zeigen Sie, dass X und Y keine leeren Mengen sind.
(b) Zeigen Sie, dass ein s ∈ R existiert, so dass
x ≤ s ≤ y fur alle x ∈ X, y ∈ Y .

(c) Zeigen Sie, dass s² = 2 gilt. (Hinweis: Falls s² < 2, dann hätte beispielsweise die
Zahl s+ 2-s² / 3s ein Quadrat, das kleiner als 2 ist.)

Problem/Ansatz:

(a) und (b) habe ich wie folgt gelöst, nur bei c fehlt mir jeglicher Ansatz.

(a) c=2 ist obere Schranke von X

⇒ X ≠ ∅ weil x=1 ∈ X

c=2 ist untere Schranke von Y

⇒ Y ≠ ∅ weil y=3 ∈ Y

(b) Vollständigkeitsaxiom

Seien X, Y nicht leere Teilmengen von ℝ, s.d. x≤y für alle x ∈ X:= x²<2 und für alle y ∈ Y:= y²>2

Es existiert ein c ∈ ℝ, s.d.

⇒ x ≤ c ≤ y, für alle x ∈ X, y ∈ Y

Comments

s+ 2-s^2 / 3s   ???

fehlen da nicht ein paar Klammern z.B. um Zähler und Nenner

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Es soll einen Bruch darstellen, der ohne Klammern angegeben ist, ich hab' das nur mit der hier verwendbaren Formel irgendwie nicht hinbekommen.. das sieht immer so aus bei mir:

\(\frac{2-s²}{3s}\)

aber es gehört 2-s² in den Zähler und 3s in den Nenner und eben das s+ vor den Bruch.

Answer 1

Es geht ja um das s mit

x ≤ s ≤ y für alle x ∈ X, y ∈ Y .

Ich denke, dass die Annahme s^2 < 2 zum Widerspruch

geführt werden soll dadurch, dass es eine Zahl s+ε mit ε>0 gibt,

die etwas größer als s ist und immer noch in X liegt, also

dass deren Quadrat kleiner als 2 ist.

Das wäre dann ein Widerspruch, denn das s soll

ja größer oder gleich allen Zahlen sein, deren Quadrat kleiner

als 2 ist. Und der Hinweis bedeutet ja, dass dieses ε als

\(\frac{2-s^2}{3s}\) gewählt werden kann. Das ist jedenfalls positiv

aus s^2 < 2 und s>0 folgt das ja.

Ich habe mal versucht das nachzurechnen, also für welches ε

ist (s+ε )^2  < 2

<=>   s^2 + 2sε + ε^2 < 2

<=>   2sε + ε^2 < 2 - s^2

<=>  ε * (2s + ε) < 2 - s^2

<=>  ε < ( 2 - s^2 ) /  (2s + ε)   #

Nun genügt  ja ein kleiner positives  ε

also sicherlich eines, das kleiner als s/2 ist,

dann wäre 2s + ε also kleiner als 2,5s und mit

3s im Nenner habe ich  den Nenner von # etwa

vergrößert und also einen Wert gewählt, der

kleiner als ( 2 - s^2 ) /  (2s + ε)  ist.

Also ist ( s+ ( 2 - s^2 ) /  (3s)  ) ^2  < 2

und der Widerspruch gezeigt.

So ähnlich wird man wohl auch s^2 <  2   zum

Widerspruch führen können, dass s^2 = 2

übrig bleibt.

Comments

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Vielen Dank! Diese Herangehensweise hat mir sehr geholfen.