Menge einer Betragsungleichung bestimmen

Question

Bestimmen Sie die Menge aller \( x \in \mathbb{R} \backslash\{2\} \) mit \( \frac{1}{|x-2|}>\frac{1}{1+|x-1|} \)

Hier habe ich die Aufgabe gelöst, aber ist die so auch richtig? Ich bin mir da unsicher:

\( \frac{1}{|x-2|}>\frac{1}{1+|x-1|} \)
\( \Leftrightarrow 1+|x-1|>|x-2| \)
\( \Leftrightarrow \quad 1^{2}+|x-1|^{2}>|x-2|^{2} \)
\( \Leftrightarrow 1+x^{2}-2 x+1>x^{2}-4 x+4 \)
\( \Leftrightarrow \quad x^{2}-2 x+2>x^{2}-4 x+4 \mid-\left(x^{2}-4 x+4\right) \)
\( \Leftrightarrow \quad 2 \times-2 \quad>\quad 0 \quad \mid+2 \quad \mid: 2 \)
\(  \Leftrightarrow x \quad>1 \)
\(=\{x \inℝ \backslash\{2\}: x>1\} \)

Habe bei Betragsgleichung von Fallunterscheidungen gelesen, aber bei dieser Aufgabe bin ich echt ratlos, wie man das machen sollte.

Answer 1

Aloha :)

In der dritten Zeile deiner Rechnung hast du die linke Seite falsch quadriert :(

Wir vereinfachen die Ungleichung erstmal soweit wie möglich:$$\left.\frac{1}{|x-2|}>\frac{1}{1+|x-1|}\quad\right|\quad\text{Kehrwerte}$$$$\left.|x-2|<1+|x-1|\quad\right|\quad\text{Verwende: } |a|<b\Leftrightarrow-b<a<b$$$$\left.-1-|x-1|<x-2<1+|x-1|\quad\right|\quad+1$$$$\left.-|x-1|<x-1<2+|x-1|\quad\right.$$Um jetzt weiter zu kommen, brauchen wir eine Fallunterscheidung:

1. Fall: \(x\ge1\)

Nun ist \(|x-1|=(x-1)\), sodass unsere Ungleichung lautet:$$\left.-(x-1)<x-1<2+(x-1)\quad\right|\quad\text{Jede Seite für sich vereinfachen}$$$$\left.-x+1<x-1<1+x\quad\right|\quad+x$$$$\left.1<2x-1<1+2x\quad\right.$$Die erste Ungleichung \(1<2x-1\) ist erfüllt für \(x>1\), die zweite Ungleichung \(2x-1<1+2x\) ist immer erfüllt. Wir erhalten also Lösungen der Ungleichung für \(x>1\).

2. Fall: \(x<1\)

Nun ist \(|x-1|=-(x-1)=(1-x)\), sodass unsere Ungleichung lautet:$$\left.-(1-x)<x-1<2+(1-x)\quad\right|\quad\text{Jede Seite für sich vereinfachen}$$$$\left.-1+x<x-1<3-x\quad\right|\quad\text{Widerspruch}$$Hier können wir aufhören, weil die erste Ungleichung \(-1+x<x-1\) nie erfüllt ist (beide Seiten sind gleich). Daher liefert dieser Fall keine Lösungen für \(x\).

Zusammengefasst erahlten wir als Lösungsmenge: \(\quad\boxed{\mathbb L=\{x\in\mathbb R\setminus\{2\}\,:\, x>1\}}\)

~plot~ 1/abs(x-2) ; 1/(1+abs(x-1)) ; [[-5|10|0|2]] ~plot~

Answer 2

Fallunterscheidung:

1. x>2

2. 1<=x<2

3. x< 1

Answer 3

Bei der 3. Zeile hättest du die binomische Formel

gebraucht. Ich würde es eher mit Fallunterscheidungen

x<-1   dann -1 ≤ x ≤2  und  dann x>2   versuchen.

Die Funktionsgraphen zeigen:

Es müsste wohl ( oder sind da rechts und links noch Schnittpunkte ?) x>0 rauskommen.

~plot~ 1/abs(x-2);1/(1+abs(x+1)) ~plot~

Comments

Warum -1 bei der Fallunterscheidung?

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|x-1| wäre richtig, nicht +1.

:-)

Answer 4

Der Schritt von der zweiten zur dritten Zeile ist schon falsch, also das Quadrieren.

Richtig ist

1+|x-1|>|x-2|

Nun unterscheiden:

x<1 → |x-1|=1-x ; |x-2|=2-x

1+1-x > 2-x

2-x>2-x   ist nicht erfüllt!

---------

1≤x<2 → |x-1|=x-1 ; |x-2|=2-x

1+x-1>2-x

2x>2

x>1 ist für 1<x<2 erfüllt.

--------

x>2 --> |x-1|=x-1 ; |x-2|=x-2

1+x-1>x-2

0>-2 ist richtig.

-------

1<x<2 und x>2 erfüllen die Ungleichung.

:-)

Comments

Ich verstehe das mit der Fallunterscheidung so gut wie gar nicht.

Wie kommt man auf die 3 Fälle und wie verfährt man dann weiter, weil ich mit Fallunterscheidungen noch nie gerechnet habe. :(

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Hallo Katluvia,

du musst gucken, für welche Werte von x der Betrag Null wird.

|x-1| → |1-1|=0 → x=1

Ebenso beim anderen Betrag, da wird es bei x=2 kritisch.

Also ____ 1 ____ 2 _____

Daurch hast du drei Bereiche, die du untersuchen musst.

:-)

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Nun musst du noch wissen, das für negative Zahlen das Vorzeichen umgedreht wird.

Ich nehme mal x=1,5 als Beispiel, da es im mittleren Bereich liegt.

|1,5-1|=|0,5|=0,5=1,5-1

Also gilt hier |x-1|=x-1.

|1,5-2|=|-0,5|=0,5=2-05

Also gilt hier |x-2|=2-x

:-)

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2-2= 0 , durch Null darf man nicht teilen.

1-1=0

Deshalb bieten sich 2 und 1 als Grenze der Fälle an.

x= 2 fällt raus, da ist der Term nicht definiert.

Beim 1. Fall kannst du die Absolutstriche weglassen.