Kettenregelformel für eine Funktion

Question

Was genau müsste man hier machen? Wie würde ich hier vorgehen?

G = G (q1, q2) ist eine Funktion, wobei q1 und q2 Funktionen von k und l sind.

Schreibe die Kettenregelformel für ∂G/∂k und ∂G/∂l. Evaluiere ∂G/∂k und ∂G/∂l als Funktionen von k und l, wenn
G(q1, q2) = q1*q2^2
q1 von (k, l) = 3k + 4l und q2 von (k, l) = 5k + 6l

Comments

Wo hakt es denn? Mach erst  den konkreten Teil  einfach q1 und q2 in G einsetzen, dann siehst du sicher wie man ableitet, dann schreib den allgemeinen Teil.

sonst sag genau, was du nicht kannst,

lul

---

Eingesetzt habe ich und erhalte: 3k + 4l * 25k^2 + 36l^2

Was müsste ich nun machen?

---

Es wird eine allgemeine Kettenregelformel für die Funktion oben verlangt. Wie würde ich das machen?

Answer 1

Aloha :)$$\frac{\partial G}{\partial k}=\frac{\partial G}{\partial q_1}\,\frac{\partial q_1}{\partial k}+\frac{\partial G}{\partial q_2}\,\frac{\partial q_2}{\partial k}$$$$\frac{\partial G}{\partial k}=\frac{\partial(q_1q_2^2)}{\partial q_1}\,\frac{\partial(3k+4l)}{\partial k}+\frac{\partial(q_1q_2^2)}{\partial q_2}\,\frac{\partial(5k+6l)}{\partial k}=q_2^2\cdot3+2q_1q_2\cdot5=3q_2^2+10q_1q_2$$Für \(l\) analaog.

Comments

@ Tschakabumba

toll wie du das kannst!

lul

---

Danke dir, lul, du bist aber auch sehr gut ;)

---

Lieben Dank hierfür! Kannst Du mir das eventuell erklären? Ich verstehe leider nichts. :/

---

Es gibt 2 Möglichkeiten, die Ableitungen zu berechnen.

1) Du kannst die Funktionsterme$$q_1(k,l)=3k+4l\quad;\quad q_2(k,l)=5k+6l$$in die Funktion \(G\) einsetzen$$G(k,l)=q_1q_2^2=(3k+4l)(5k+6l)^2$$und dann mit der Produktregel ableiten:$$\frac{\partial G}{\partial k}=3(5k+6l)^2+(3k+4l)\cdot2(5k+6l)\cdot5=3q_2^2+10q_1q_2$$

2) Du kannst die Kettenregel verwenden, wie du sie von Funktionen einer Veränderlichen kennst. Da \(G\) aber von 2 Funktionen, nämlich \(q_1(k,l)\) und \(q_2(k,l)\), abhängt, musst du für jede dieser Funktionen einen Summanden spendieren:

$$\frac{\partial G}{\partial k}=\underbrace{\frac{\partial G}{\partial q_1}\cdot\frac{\partial q_1}{\partial k}}_{\text{Summand für \(q_1\)}}+\underbrace{\frac{\partial G}{\partial q_2}\cdot\frac{\partial q_2}{\partial k}}_{\text{Summand für \(q_2\)}}$$

---

Lieben Dank für die Rückmeldung. Das macht Vieles erklärlich.

Warum steht bei dir zwei Mal k im unteren Bruch bei beiden? Sollte es nicht einmal "l" sein?

---

Ich habe nur die partielle Ableitung nach der Variablen \(k\) angegeben. Wenn du die partielle Ableitung nach \(l\) haben möchtest, musst du in der Kettenregel alle \(k\) durch \(l\) ersetzen.

---

Ach okay – verständlich! Lieben Dank Dir, Tschakabumba! :)

---

Hallo Tschakabumba,

ich bin nicht der Fragesteller, habe aber trotzdem eine Frage zu deiner Antwort :)

Ich versuche den Kettenregelausdruck gerade formal herzuleiten und bin auf eine kleine Unstimmigkeit gestoßen: Hier meine Vorgehensweise:

\( dG = \frac{\partial G}{\partial q_1} dq_1 + \frac{\partial G}{\partial q_2} dq_2 \) , mit

\( dq_1 = \frac{\partial q_1}{\partial k} dk + \frac{\partial q_1}{\partial l} dl \) und

\( dq_2 = \frac{\partial q_2}{\partial k} dk + \frac{\partial q_2}{\partial l} dl \).

Also einfach 3x die Definition des totalen Differentials auf eine Funktion mit 2 Variablen angewandt. Wenn ich dies nun ineinandersetze erhalte ich

\( dG = \frac{\partial G}{\partial q_1} (\frac{\partial q_1}{\partial k} dk + \frac{\partial q_1}{\partial l} dl) + \frac{\partial G}{\partial q_2} (\frac{\partial q_2}{\partial k} dk + \frac{\partial q_2}{\partial l} dl) \) .

Wenn ich jetzt z. B. durch dk dividiere (ich weiß, es ist gefährlich das mit den Differentialen zu machen :) ) erhalte ich

\( \frac{dG}{dk} = \frac{\partial G}{\partial q_1} \frac{\partial q_1}{\partial k} + \frac{\partial G}{\partial q_2} \frac{\partial q_2}{\partial l} \).

Dabei habe ich ausgenutzt, dass dk/dk=1 und dk/dl=0.

Mein Ergebnis ist ja mit deinem identisch, außer dass du auf der linken Seite \( \partial \) hast.

Ich weiß, dass dein Ergebnis korrekt ist. Aber kannst du mir sagen wo mein Fehler liegt und wie ich ihn korrigieren kann?

Vielen Dank!

---

Wenn du das totale Differential \(dG\) rechnest, kannst du \(\frac{dl}{dk}\) nicht gleich null setzen, denn beide sind ja über die Funktionen \(q_1\) und \(q_2\) miteinander verknüpft. Wenn du hingegen die partielle Ableitung \(\partial G\) nimmst, ist \(l\) eine Konstante und die partiellen Ableitung nach \(k\) verschwindet. Dann geht deine Rechnung auf.

---

Danke für deine Antwort!

Ich habe ja einen Ausdruck dG=.... formuliert. Wie kann ich diese Gleichung noch "retten", bzw. welche Umformung muss ich jetzt machen damit daraus ein \( \partial G \) wird?

Ziel soll also sein, deine Lösung zu erhalten auf Basis meiner Gleichung dG=... . Geht das überhaupt? Ich wüsste nicht wie ich aus dem dG ein \( \partial G \)  herstellen kann.