Aloha :)
Die Werte, die klar sind (neutrales Element der Addition (0) und neutrales Element der Multiplikation (1)), habe ich fett gedruckt. Alle anderen habe ich so bestimmt, dass alle Körperaxiome erfüllt sind.
$$\begin{array}{c}+ & 0 & 1 & a & b\\\hline 0: & \mathbf 0 & \mathbf 1 & \mathbf a & \mathbf b\\1: & \mathbf 1 & 0 & b & a \\ a: & \mathbf a & b & 0 & 1 \\ b: & \mathbf b & a & 1 & 0\end{array}\qquad\qquad\begin{array}{c}\ast & 0 & 1 & a & b\\\hline 0: & \mathbf 0 & \mathbf 0 & \mathbf 0 & \mathbf 0\\1: & \mathbf 0 & \mathbf 1 & \mathbf a & \mathbf b \\ a: & \mathbf 0 & \mathbf a & b & 1 \\ b: & \mathbf 0 & \mathbf b & 1 & a\end{array}$$
Müsste eigentlich alles so stimmen, habe es aber nicht mehr nachgerechnet.
