Additions und Multiplikationstafeln / multiplikativ invertierbar?

Question

(a) Beschreiben Sie die Addition und Multiplikation im Körper \(\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}\) durch Aufstellung von Additions bzw. Multiplikationstafeln.
(b) Welche Elemente von \(\mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z}\)sind multiplikativ invertierbar, welche nicht?
(c) Berechnen Sie im Körper \(\mathbb{Z} / 41 \mathbb{Z}\)das Element \([a]=[3]^{10}\)sowie das multiplikative Inverse von \([a]\)

Ich häng ziemlich hinterher und habe deshalb leider keine Ahnung wie diese Aufgabe funktioniert. Bin am aufholen muss die Aufgabe aber morgen abgeben und schaffe das wohl nicht. Ich hoffe jemand kann die Aufgabe lösen. Schon mal vielen Dank !

Answer 1

Rechne einfach modulo 7, also immer wenn ein Ergebnis größer als 6 ist,

nimmst du den Rest mod 7, z.B.  3+5 =8 also = 1 etc.

+    0     1     2     3     4     5     6
0      0      1    2     3     4     5    6
1      1      2    3     4     5     6     0
2      2      3    4      5    6    0      1
3
4
5                  etc.
6

*    0    1      2    3    4    5    6
0      0    0     0     0    0    0    0
1      0    1      2    3    4    5    6   
2      0    2      4    6    1    3    5
3
4            
5                  etc.
6

Bei \(\mathbb{Z} / 12 \mathbb{Z}\)  ist 1 das neutrale Element der

Multiplikation. Und multiplikativ invertierbar ist ein Element, wenn es

mit einem anderen multipliziert 1 ergibt, also z.B.

11   denn 11*11 = 121 = 1 (mod 12)

10  aber etwa nicht, denn die "Vielfachen" von

10 sind 0*10=0 , 1*10=10  , 2*10= 8

etc  ,6,4,2 , 0 , 10, 8 , 6 , 4 , 2 .

1 kommt also nicht vor.