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Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

1n \frac{1}{n}   + 1n+1 \frac{1}{n+1}   1n+2 \frac{1}{n+2}   + ... + 12n \frac{1}{2n}   < 2

für alle n ∈ ℕ.


Problem/Ansatz:

1. A(1) beweisen: 11 \frac{1}{1} 12×1 \frac{1}{2×1} 32 \frac{3}{2} < 2 ✓.

2. A(n+1) beweisen: Annahme, dass 1n \frac{1}{n}   + 1n+1 \frac{1}{n+1}   1n+2 \frac{1}{n+2}   + ... + 12n \frac{1}{2n}   < 2 wahr ist.

also

1n \frac{1}{n}   + 1n+1 \frac{1}{n+1}   1n+2 \frac{1}{n+2}   + ... + 12n \frac{1}{2n} 12n+2 \frac{1}{2n+2} .

Ich weiß, dass die Summe von 1n \frac{1}{n} bis 12n \frac{1}{2n} <2 ist, wegen der Annahme. Doch was mache ich nun mit dem letzten Summanden? Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

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Annahme, dass 1n \frac{1}{n}   + 1n+1 \frac{1}{n+1}   1n+2 \frac{1}{n+2}   + ... + 12n \frac{1}{2n}   < 2 wahr ist.

Basierend auf dieser Annahme musst du zeigen, dass

       1n+1+1n+2++12(n+1)<2 \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2(n+1)} < 2

ist. Insbesondere beginnt diese Summe nicht mit 1n\frac{1}{n}.

Doch was mache ich nun mit dem letzten Summanden?

Mit dem weggefallenen ersten Summanden verrechnen.

Das musst du mit dem vorletzten Summanden übrigens auch machen; es sind zwei Summanden am Ende hinzugekommen und einer am Anfang weggefallen.

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also

1n+1 \frac{1}{n+1} + 1n+2 \frac{1}{n+2}   + ... + 12(n+1) \frac{1}{2(n+1)} - 1n \frac{1}{n} ?

Was willst du mit diesem Term machen? Inwiefern ist er für die Aufgabenstellung relevant?

ich muss schauen, ob der Term <2 ist. Wenn ich mir die ,,rechte Seite´´ d.h. 12(n+1) \frac{1}{2(n+1)} 1n \frac{1}{n} anschaue, dann ist die Differenz ja ∀ n ∈ ℕ negativ. Ich weiß jetzt aber nicht genau, was ich mit der ,,linken Seite´´ machen soll bzw. ob ich dort die Annahme mit einbeziehen kann.

ich muss schauen, ob der Term <2 ist.

Nein. Du musst schauen ob der Term

(1)        1n+1+1n+2++12(n+1) \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2(n+1)}

kleiner als 2 ist. Dabei darfst du verwenden, dass der Term

(2)      1n+1n+2++12n \frac{1}{n} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}

kleiner als 2 ist.

Die Terme (1) und (2) unterscheiden sich in drei Summanden. In Term (1)

  • fehlt ein Summand, der in Term (2) auftritt,
  • sind zwei Summanden, die in Term (2) nicht auftreten.

Diese drei Summanden muss du gegeneinander aufrechenen.

Wäre der Ansatz

1n \frac{1}{n}   + 1n+1 \frac{1}{n+1} + 1n+2 \frac{1}{n+2}   + ... + 12n \frac{1}{2n} 12(n+1) \frac{1}{2(n+1)}   - 1n \frac{1}{n}

dann richtig?

1n+1+1n+2++12(n+1)=1n+1+1n+2++12n+12n+1+12n+2=1n+1n+1+1n+2++12n+12n+1+12n+21n<2+12n+1+12n+21n\begin{aligned} & \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2(n+1)}\\ =\, & \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\\ =\, & \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}\\ <\, & 2+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n} \end{aligned}

Dankeschön! Ich denke den Rest schaffe ich noch alleine.

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