Ungleichung und vollständige Induktion

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

\( \frac{1}{n} \)  + \( \frac{1}{n+1} \)  \( \frac{1}{n+2} \)  + ... + \( \frac{1}{2n} \)  < 2

für alle n ∈ ℕ.

Problem/Ansatz:

1. A(1) beweisen: \( \frac{1}{1} \) + \( \frac{1}{2×1} \) = \( \frac{3}{2} \) < 2 ✓.

2. A(n+1) beweisen: Annahme, dass \( \frac{1}{n} \)  + \( \frac{1}{n+1} \)  \( \frac{1}{n+2} \)  + ... + \( \frac{1}{2n} \)  < 2 wahr ist.

also

\( \frac{1}{n} \)  + \( \frac{1}{n+1} \)  \( \frac{1}{n+2} \)  + ... + \( \frac{1}{2n} \) + \( \frac{1}{2n+2} \) .

Ich weiß, dass die Summe von \( \frac{1}{n} \) bis \( \frac{1}{2n} \) <2 ist, wegen der Annahme. Doch was mache ich nun mit dem letzten Summanden? Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

Annahme, dass \( \frac{1}{n} \)  + \( \frac{1}{n+1} \)  \( \frac{1}{n+2} \)  + ... + \( \frac{1}{2n} \)  < 2 wahr ist.

Basierend auf dieser Annahme musst du zeigen, dass

       \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2(n+1)} < 2\)

ist. Insbesondere beginnt diese Summe nicht mit \(\frac{1}{n}\).

Doch was mache ich nun mit dem letzten Summanden?

Mit dem weggefallenen ersten Summanden verrechnen.

Das musst du mit dem vorletzten Summanden übrigens auch machen; es sind zwei Summanden am Ende hinzugekommen und einer am Anfang weggefallen.

Comments

also

\( \frac{1}{n+1} \) + \( \frac{1}{n+2} \)  + ... + \( \frac{1}{2(n+1)} \) - \( \frac{1}{n} \) ?

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Was willst du mit diesem Term machen? Inwiefern ist er für die Aufgabenstellung relevant?

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ich muss schauen, ob der Term <2 ist. Wenn ich mir die ,,rechte Seite´´ d.h. \( \frac{1}{2(n+1)} \) - \( \frac{1}{n} \) anschaue, dann ist die Differenz ja ∀ n ∈ ℕ negativ. Ich weiß jetzt aber nicht genau, was ich mit der ,,linken Seite´´ machen soll bzw. ob ich dort die Annahme mit einbeziehen kann.

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ich muss schauen, ob der Term <2 ist.

Nein. Du musst schauen ob der Term

(1)        \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2(n+1)}\)

kleiner als 2 ist. Dabei darfst du verwenden, dass der Term

(2)      \( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}\)

kleiner als 2 ist.

Die Terme (1) und (2) unterscheiden sich in drei Summanden. In Term (1)

• fehlt ein Summand, der in Term (2) auftritt,
• sind zwei Summanden, die in Term (2) nicht auftreten.

Diese drei Summanden muss du gegeneinander aufrechenen.

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Wäre der Ansatz

\( \frac{1}{n} \)  + \( \frac{1}{n+1} \) + \( \frac{1}{n+2} \)  + ... + \( \frac{1}{2n} \) + \( \frac{1}{2(n+1)} \)  - \( \frac{1}{n} \)

dann richtig?

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\(\begin{aligned} & \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2(n+1)}\\ =\, & \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\\ =\, & \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n}\\ <\, & 2+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n} \end{aligned}\)

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Dankeschön! Ich denke den Rest schaffe ich noch alleine.