Eindimensionale Differentialgleichungen. Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme zu Differentialgleichungen

Question

Aufgabe:

Eindimensionale Differentialgleichungen.
Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme zu Differentialgleichungen. Dabei sollen die Aufgabenteile 1-5 mit Trennung der Variablen und die Aufgabenteile 6-8 mit der Methode für homogene Differentialgleichungen behandelt werden.

1. y' = y ln(y) für alle Anfangswerte y(x_0) = y_0 mit x_0 ∈ R und y_0 > 1

2. y' = x³(√y) für alle Anfangswerte y(x_0) = y_0 mit x_0 ∈ R, y_0 > 0

3. y' = ex−y  für alle Anfangswerte y(x_0) = y_0 mit x_0, y_0 ∈ R

4. y' =√(1+y²/1-x²)   für alle Anfangswerte y(x_0) = y_0 mit x_0 ∈ (−1, 1), y_0 ∈ R

5. y' = sin(x + y) + sin(x − y) für alle Anfangswerte y(x_0) = y_0 mit x_0 ∈ R, y_0 ∈ (0,π/2)

6. y' = cot(y/x) + y/x  mit Anfangswert y(1) = 0

7. y' = 1 + 3 (y/x) +y²/x²    mit Anfangswert y(1) = 2

8. y' =(4y³+x³)/3xy²    mit Anfangswert y(1) = 1

Hinweis: Zur Bestimmung von Stammfunktionen kann eine Formelsammlung eingesetzt werden.
D.h. im Gegensatz zu Aufgabe 1 brauchen die Stammfunktionen nicht hergeleitet zu werden.

Hey zusammen, könnte jemand mir bitte helfen die Aufgabe zu lösen?

Vielen Dank im Voraus! :)

Answer 1

Hallo,

Gedanke Aufg1 bis 5:

Ersetze y'=dy/dx und bringe alles mit y auf eine Seite , alles mit x auf die andere Seite

Aufgabe 2)

y' = x³(√y)

dy/dx=x³(√y)

dy/√y= x^3 dx

2√y= x^4/4 +C₁

√y=(x^4/4 +C₁)/2

y=(x^4/8 +C₁/2)^2

dann noch y(x_0) = y_0 einsetzen

Aufgabenteile 6-8 Lösung via Substitution z=y/x

Aufgabe 7)

y' = 1 + 3 (y/x) +y²/x²    mit Anfangswert y(1) = 2

z=y/x

y=z x

y'=z+z'x

->eingesetzt:

z +z'x=1 +3 z +z^2 |-z

z'x=1 +2 z +z^2

z'x=(z+1)^2

dz/dx *x=(z+1)^2

dz/(z+1)^2) =dx/x

(-1)/(z+1)= ln|x|+C1 | *(-1)

1/(z+1)= -ln|x|-C1

z+1= 1/ (-ln|x|-C1)

y/x= z=1/ (-ln|x|-C1) -1

y= x *( 1/ (-ln|x|-C1) -1)

AWB eingesetzt: y(1)=2

2= 1 *( 1/ (-ln|1|-C1) -1)

2=1/(-C1) -1

3=1/(-C1)

C1= -1/3

---------->

Lösung: y=  x( 1/ (-ln|x| +1/3) -1)

y= (x(2 +3 ln|x|))/(1 -3 ln|x|)

Comments

Danke erstmal für deine Antwort!

bei Aufgabe 2 soll ich noch y(x_0) = y_0 einsetzen. was ist der Wert von x_0 und y_0? und wie kann ich das wissen?

Vielen Dank im Voraus! :)

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Setze:

y=y₀ und

x=x₀

_{und bestimme C1.} Setze C1 dann in die Lösung ein.

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Ist C1= √(64y_0-x_0^8)/4 ?

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ich habe erhalten:

C₁= - x₀^4/4 ± 2 √y_o

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ich habe das schon gemacht. Ich habe noch eine Frage. Bei 3) schreibe zunächst so ?
dy/dx= e^(x−y) ⇒dy/e^(−y)=e^x dx

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Hallo,

e^(x-y)= e^x *e^(-y)

dy/dx=e^x *e^(-y)

e^y dy= e^x dx

usw.

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Bei 4) habe ich so gemacht dy / (1+y^2) = dx / (1-x^2) wir integrieren das dann erhalten wir :
arctan(y) = (ln(x+1)-ln(x-1)) / 2 +C
richtig oder?
=> arctan(y_0) = (ln(x_0+1) - ln(x_0-1)) / 2 + C ich komme jetzt nicht weiter..

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und noch eine Frage zu Aufgabe 7.

wie hast du x nach dz/dx ? wie kommst du darauf? Vielen Dank im Voraus!

z'x=(z+1)^2

dz/dx *x=(z+1)^2

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Hallo,

zu 4)

Falls die Aufgabe so lautet:

y' =√((1+y²)/(1-x²) ) =√(1+y^2) /√(1-x^2)

dy/√(1+y^2) = dx/√(1-x^2)

zu 7)

1 +2 z +z^2 =(z+1)^2 ------->1. Binomische Formel

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zu 7) ja aber wieso dz/dx *x

wieso *x? wie kommst du darauf?

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das hatte ich geschrieben:

z=y/x

y=z x

y'=z+z'x ->eingesetzt:

z+z'x =1 +3 z +z^ 2 |-z

z'  x =1 +2 z +z^ 2

z'= dz/dx

usw.

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ok alles klar ich verstehe 7 jetzt dankeschön! :)

bei 4) komme ich irgendwie nicht weiter

⇒ln(\( \sqrt{1+y^2} \) +y) = arcsin (x) + C1

wie sollte jetzt y aussehen?

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siehe hier:

http://www2.hs-esslingen.de/~mohr/mathematik/me2/Integraltabelle.pdf

Regel 37

 \( \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} d x=\operatorname{arsinh} \frac{x}{a}=\ln \left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right) \)

---> = ar sinhy +C = sinh^(-1)(y)

-------->

sinh^(-1)(y) = sin^(-1) +C

y= sinh(sin^(-1)(x) +C)

---

aber ich glaube ich kann jetzt C nicht bestimmen wie kann ich machen

y= sinh(sin^(-1)(x) +C)

---

y= sinh(sin^(-1)(x) +C)

Setze:

y=y₀ und x=x₀

sinh^(-1)(y₀)= sin^(-1)(x₀) +C

C=sinh^(-1)(y₀) - sin^(-1)(x₀) oder

C= ar sinh(y₀) -arcsin(x₀)

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Achso ok alles Klar! :)

Ich habe letzte Frage aber zu 5). Und zwar
ist das so ? sin(x + y) + sin (x − y) = 2 sin(x) . cos(y) => dy / cos(y) = 2 sin(x) dx

integrieren:

ln(|tan(y)+sec(y)|) = -2 cos(x)+ C

richtig? wenn ja, wie sollte jetzt y aussehen?

Vielen Dank im Voraus! :)

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das stimmt, aber man kann nicht nach y auflösen.

Entweder Du läßt das in impliziter Form so stehen, oder rechnest mit den ln(..).

(ln(sin(y) +1) -ln(1 -sin(y))/2  = -2 cos(x)

Nach einigen Umformungen kannst Du dann nach y auflösen :-)

Ich habe erhalten:

y =arcsin( (-1 +C₁ e^(-4cos(x))) /(1 +C₁ e^(-4cos(x)))

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zu 6) habe ich jetzt so bekommen

-ln(cos(z)) = ln(x) + c

-ln(cos(y_0/x_0)) = ln(x_0) + c
-ln(cos(0)) = ln(1) + c => 0=0+c => C= 0
=>  -ln(cos(y/x)) = ln(x)

richtig so? ich muss das so lassen nh?

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-ln(cos(z)) = ln(x) + c   stimmt |*(-1)

ln(cos(z)) = - ln(x) - c |e hoch

cos(z) =e^( - ln(x) - c ) =e^(- ln(x)) *e^(- c) =1/x *e^(- c)

z₁= arc cos((e^(-C₁₎)/x) +2kπ ; k∈ G

z₂= - arc cos((e^(-C₁))/x) +2kπ ; k∈ G

->Resubstitution:

y₁/x= arc cos((e^(-C1))/x) +2kπ

y₁=x  (arc cos((e^(-C1))/x) +2kπ)

y₂= - x (arc cos((e^(-C1))/x) +2kπ)

Nach Einsetzen der AWB bekommst Du:

y₁= - x arc cos(1/x) +2kπ

y₂= x arc cos(1/x) +2kπ

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ist C=0?

wenn ja dann  y1=x (arc cos((e^(0))/x) +2kπ)

y2= - x (arc cos((e^(0))/x) +2kπ)  oder?

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............e^0=1..................

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y1=x (arc cos((1)/x) +2kπ)

y2= - x (arc cos((1)/x) +2kπ)

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ja habe ich auch

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ja aber du hast 2kπ nicht geschrieben

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Vielen vielen Dank du hast mir wirklich viel geholfen! :))