Kartesisches Produkt mit Mengen reeller Zahlen bilden

Question

Hey zusammen,

ich habe folgende Aufgabe vor mir und komme soweit auch gut zurecht damit. Allerdings bin ich mir unschlüssig, ob die Aufgabe in der Art wie ich sie gelöst habe bereits abgeschlossen ist.

Aufgabe:

Gegeben seien folgende Mengen reeller Zahlen:A := [−10, −2] ∪ [1, 5)
B := (−5, 1]
C := [−4, 15)D := [1, 20]

Bestimmen Sie (A ∩ B) × (C ∩ D) sowie (A × C) ∩ (B × D).

Problem/Ansatz:

Folgendes hab ich bestimmt

(A ∩ B) × (C ∩ D) = ( (-5,-2]∪{1} ) x [1, 15)

(A × C) ∩ (B × D) = ( ( [-10,-2]∪[1,5) ) x [-4,15) ) ∩ ( (-5,1] x [1,20] )

Mein Problem ist, dass ich mir nicht sicher bin, ob hier Schluss ist oder sich das ganze etwas weiter zusammenfassen lässt.

Vielen Dank im voraus für eure Zeit und Ansätze.

Comments

Vielleicht hilft das:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt#Distributivit%C3%A4t

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Vielen Dank das hilft mir enorm!

Ich habe nun aus

(A ∩ B) × (C ∩ D) = ( (-5,-2]∪{1} ) x [1, 15)

folgendes gemacht:

(A ∩ B) × (C ∩ D) = {(x,y) ∈ ℝ²| -5 < x ≤ -2 ∨ x = 1, 1 ≤ y < 15}.

Hab ich das richtig umgeschrieben? Ich bin mir etwas unsicher aufgrund der Schreibweise mit dem "∨", allerdings wusste ich es anderst nicht zu realisieren, wie ich die 1 noch mit in die Menge nehme.

Für zweiteres gilt laut dem Link:

(A × C) ∩ (B × D) = (A ∩ B) x (C ∩ D), was dem ersteren entspricht. Somit schließe ich daraus, dass

(A × C) ∩ (B × D) = {(x,y) ∈ ℝ²| -5 < x ≤ -2 ∨ x = 1, 1 ≤ y < 15}

ebenfalls gilt. Liege ich da richtig?