Polarform sowie kartesische Form einer komplexen Zahl

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(b) Geben Sie Polarform sowie kartesische Form einer komplexen Zahl \( z \) an, sodass
(i) \( |z|=2, z \neq\pm 2 \)
(ii) \( e^{z}=3, z \neq \ln 3 \)
(iii) \( z^{4}=1+i \) Hinweis: Es gilt \( e^{2 \pi i}=1 \)

ich komme bei ii) und iii) nicht weiter. bei iii) fehlt mir die kartesische Form und bei ii) steh ich völlig auf dem Schlauch

Danke im Vorhinein!

Answer 1

Hallo,

Aufgabe ii)

e^z=3

|z|=3

tan(φ)=0 , φ=0°

e^z= 3 e^(i arctan 0°)

e^z= e^(ln(3)+ e^(i arctan 0°))

z= ln(3) +i arctan 0° +2ikπ

z= ln(3) +2ikπ , k∈Z

Aufgabe iii)

|z₁|=√2

tan (φ)= 1 , φ= π/4 , n=4

Allgemein gilt:

z_k=|z₁|^(1/n) e ^ (i(φ+2 kπ))/n , k=0.1.2.3

z₀=(√2)^(1/4) e^(i π)/16

z₀=\( \sqrt[8]{2} \) ( cos(π/16) +i sin (π/16) )

-----------> 4 Lösungen:

\( z \approx-1.06955-0.21275 i \)
\( z \approx 0.21275-1.06955 i \)
\( z \approx-0.21275+1.06955 i \)
\( z \approx 1.06955+0.21275 i \)

Comments

ok Vielen Dank! woher kommt die 8. Wurzel von 2 ? (Woher die 2 kommt, verstehe ich)

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(√2)^(1/4)=(2)^((1/2) *(1/4)) =2^(1/8)