Zeigen sie das a<=b <=> a^n<=b^n

Question

Aufgabe:

Sei \(n\in\mathbb{N}\). Zeigen Sie, dass \(\forall a,b\in[0,\infty)\) gilt:

$$a\leq b \Leftrightarrow a^n\leq b^n$$

Problem/Ansatz:

Hätte das jetzt mit vollständiger Induktion gezeigt. Der Anfang ist ja auch trivial. Doch was dann? Muss man für die Äquivalenz beide Richtungen zeigen? Eine Unterscheidung zwischen a=b, a<b treffen? Der Induktionsschritt fällt mir sehr schwer.

Answer 1

Ind.-Schritt:

Nutze den Satz u≤v ∧ r≤s ⇒ u·r≤v·s

Multipliziere aⁿ≤bⁿ und a≤b

Comments

Oh Gott. Wie konnte man darauf nicht kommen? Klar. Danke dir! :D

Answer 2

$$a\leq b \Leftrightarrow a^n\leq b^n$$

Annahme$$a^n\leq b^n$$

$$a^{(n+1)}\leq a*b^n\leq b^{(n+1)}$$Schluss