Summenformel mit Resultat n/(n+1) beweisen durch vollständige Induktion

Question

Ab der untersten Zeile komme ich nicht mehr weiter. Habe ich davor schon etwas falsch gemacht oder was ist mein Fehler ? ^^'

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Ich kann leider nicht entziffern, was du da unter dem Bruchstrich im Summenzeichen hast.

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Wenn du das rote meinst:

1/i(i+1) + 1/(n+1)(n+2)

Wenn du noch was nicht erkennen kannst, sag ruhig, ich merke grade selber, dass die Schrift bisschen scheitert. Wenn du willst schreibe ich das ganze aber nochmal schön auf und lade die frage dann erneut hoch.

Answer 1

Aloha :)

$$A(n)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)\stackrel!=\frac{n}{n+1}$$

Verankerung bei \(n=1\):$$A(n)=\sum\limits_{i=1}^1\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=\frac{n}{n+1}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt:$$A(n+1)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$$$$\phantom{A(n+1)}\stackrel{\text{I.V.}}{=}\frac{n}{n+1}+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=1-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2-1}{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\quad\checkmark$$

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Dankeschön, dass du dir Zeit genommen und geantwortet hast. Aus deiner Lösung werde ich einiges verstehen und besser deuten können haha so hoffen wir mal, dass ich mich in paar Wochen an solche Aufgaben gewöhnt habe xD