Ausdruck mithilfe der Polarform vereinfachen

Question

Aufgabe: Vereinfachen Mithilfe der Polarform

\( z=\frac{(\sqrt{2}+i \sqrt{6})^{4}}{1-i \sqrt{3}} \)

Answer 1

Aloha :)

Wir wandeln zunächst Zähler und Nenner in die Polardarstellung um:$$(\sqrt2+i\,\sqrt6)=\sqrt{2+6}\,e^{i\,\arctan(\frac{\sqrt6}{\sqrt2})}=\sqrt8\,e^{i\,\pi/3}$$$$(1-i\,\sqrt3)\;\;\;=\sqrt{1+3}\,e^{i\,\arctan(\frac{-\sqrt3}{1})}=2\,e^{-i\,\pi/3}$$

Damit können wir nun rechnen:$$\frac{(\sqrt2+i\,\sqrt6)^4}{1-i\,\sqrt3}=\frac{\left(\sqrt8\,e^{i\,\pi/3}\right)^4}{2\,e^{-i\,\pi/3}}=\frac{64\,e^{i\,4\pi/3}}{2\,e^{-i\,\pi/3}}=32e^{i\,5\pi/3}=32e^{-i\,\pi/3}$$

Das Ergebnis können wir wieder umwandeln:

$$=32\left(\cos\frac{\pi}{3}-i\,\sin\frac{\pi}{3}\right)=32\left(\frac{1}{2}-i\,\frac{\sqrt3}{2}\right)=16-i\,16\sqrt3$$

Comments

Ich verstehe nicht ganz wie du von

e^{i 5π/3} auf \( e^{-i π/3} \) kommst

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Zwischen 5π/3 und -π/3 besteht eine Differenz von 2π.

Komplexe Zahlen mit gleichem Betrag, bei denen sich nur die Argumente um 2π unterschieden, sind identisch.

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Im Exponenten vom Argument \(2\pi\) subtrahiert...

Wegen \(e^{\pm i\,2\pi}=1\) gilt:$$e^{i\,5\pi/3}=e^{i\,5\pi/3}\cdot1=e^{i\,5\pi/3}\cdot e^{-i\,2\pi}=e^{i\,5\pi/3-i\,2\pi}=e^{-i\,\pi/3}$$

Du kannst bei dem Winkel einer komplexen Zahl beliebig oft 360 Grad bzw. \(2\pi\) subtrahieren oder addieren, ohne dass sich die Zahl ändert.