Bestimmen Sie (A ∩ B) x (C ∩ D) sowie (A x C) ∩ (B x D).

Question

Aufgabe:

Gegeben seien folgende Mengen reeller Zahlen:

A := [-10, -2] ∪ [1, 5) ,   B := (-5, 1],      C := [-4, 15) und D := [1,20] .

Bestimmen Sie (A ∩ B) x (C ∩ D) sowie (A x C) ∩ (B x D).

Problem/Ansatz:

Also (A ∩ B) = (-5, 2] ∪ {1} und  (C ∩ D) = [1, 15) aber wie kann man ein Kreuzprodukt von diese Mengen erhalten? Ist (A ∩ B) x (C ∩ D) = [-75, 30) ?

A x C = (-150, 40] ∪ [-20, 75) also = (-150, 75),

B x D = (-100, 20] und (A x C) ∩ (B x D) =  (-100,20).

Ist diese Lösung richtig?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

\(A\cap B=([-10,-2]\cup [1,5))\cap (-5,1]=(-5,-2]\cup \{1\}\)

\(C\cap D=[-4,15)\cap [1,20]=[1,15)\)

und damit unter Verwendung der Distributivität des Kartesischen Produkts$$(A\cap B)\times (C\cap D)=((-5,-2]\cup \{1\})\times [1,15]=((-5,2]\times [1,15))\cup (\{1\}\times [1,15))$$ Hierbei ist \(\{1\}\times [1,15)=\{(1,y) : 1\leq y <15\}\)

und \((-5,2]\times [1,15]=\{(x,y) : -5<x\leq 2 \, \land \, 1\leq y <15\}\).

Da \(\{1\}\times [1,15)\subset (-5,2]\times [1,15)\) ist die Antwort:$$(A\cap B)\times (C\cap D)=\{(x,y) : -5<x\leq 2 \, \land \, 1\leq y <15\}$$

Comments

Bei \(C\cap D=[-4,15)\cap [1,20]=[1,15]\) soll es nicht [1, 15) sein? Weil D = 15) ist?

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Oh ja, da hast du recht. Der Fehler sollte jetzt raus sein.