bezählbare Menge und für jedes i ∈ I ist Mi

Question

Es sei (M_i)_i∈I eine abzählbare Familie abzählbarer Mengen, d.h. I ist

eine abzählbare Menge und für jedes i ∈ I ist M_i abzählbar. Zeigen Sie, dass die
Vereinigung
UM_i
^i∈I
auch eine abzählbare Menge ist. Sie können zunächst voraussetzen, dass alle Mi
unendlich und paarweise disjunkt sind, d.h. für i≠ j ist M_i ∩ M_j = ∅. Die anderen
Fällen lassen sich auf diesen zuruckführen.

Comments

Wie ist die Menge I definiert?

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die Aufgabe wurde genau so gestellt.

Habe keine weitere Definition für i

Answer 1

Hallo,

jedes Element in der Vereinigung lässt sich durch ein Paar (i,j) bestimmen. Dabei zeigt der erste Index i aus I aus welcher der Mengen \(M_i\) das Element entnommen ist und j ist die "Nummer" dieses Element in der Abzählung von \(M_i\). Also läuft die Frage darauf hinaus, wie sich solche Paare abzählen lassen.

Aber das ist ein Klassiker. Schau mal unter dem Stichwort "Cantorsches Diagonalverfahren".

Gruß