Berechnen Sie die Gradienten folgender Funktionen:

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Gradienten folgender Funktion:

ƒ: ℝ³ \ {(0,0,0)} → ℝ, ∫ (x1, x2, x3) =  √x1² + x2² + x3²   ln(x2⁴+1)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich keinen Ansatz

Comments

Bis wohin geht die Wurzel?

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bis x3^2. Also vor ln hört sie auf

Answer 1

Aloha :)

Mit \(\vec r=(x_1;x_2;x_3)\) ist \(r=\|\vec r\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\) und wir können schreiben:

$$\phantom{=}\operatorname{grad}\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\cdot\ln(x_2^4+1)\right)=\operatorname{grad}\left(r\cdot\ln(x_2^4+1)\right)$$Mit der Produktregel geht es weiter zu:$$=\operatorname{grad}(r)\cdot\ln(x_2^4+1)+r\cdot\operatorname{grad}\left(\ln(x_2^4+1)\right)$$$$=\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\cdot\ln(x_2^4+1)+r\begin{pmatrix}0\\\frac{4x_2^3}{x_2^4+1}\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{r}x_1\ln(x_2^4+1)\\\frac{1}{r}x_2\ln(x_2^4+1)+\frac{4x_2^3}{x_2^4+1}\\\frac{1}{r}x_3\ln(x_2^4+1)\end{pmatrix}$$

Comments

vielen :)