Aufgabe:
Berechnen Sie die Gradienten folgender Funktion:
ƒ: ℝ3 \ {(0,0,0)} → ℝ, ∫ (x1, x2, x3) = √x12 + x22 + x32 ln(x24+1)
Problem/Ansatz:
Leider habe ich keinen Ansatz
Bis wohin geht die Wurzel?
bis x32. Also vor ln hört sie auf
Aloha :)
Mit r⃗=(x1;x2;x3)\vec r=(x_1;x_2;x_3)r=(x1;x2;x3) ist r=∥r⃗∥=x12+x22+x32r=\|\vec r\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}r=∥r∥=x12+x22+x32 und wir können schreiben:
=grad(x12+x22+x32⋅ln(x24+1))=grad(r⋅ln(x24+1))\phantom{=}\operatorname{grad}\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\cdot\ln(x_2^4+1)\right)=\operatorname{grad}\left(r\cdot\ln(x_2^4+1)\right)=grad(x12+x22+x32⋅ln(x24+1))=grad(r⋅ln(x24+1))Mit der Produktregel geht es weiter zu:=grad(r)⋅ln(x24+1)+r⋅grad(ln(x24+1))=\operatorname{grad}(r)\cdot\ln(x_2^4+1)+r\cdot\operatorname{grad}\left(\ln(x_2^4+1)\right)=grad(r)⋅ln(x24+1)+r⋅grad(ln(x24+1))=1r(x1x2x3)⋅ln(x24+1)+r(04x23x24+10)=(1rx1ln(x24+1)1rx2ln(x24+1)+4x23x24+11rx3ln(x24+1))=\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\cdot\ln(x_2^4+1)+r\begin{pmatrix}0\\\frac{4x_2^3}{x_2^4+1}\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{r}x_1\ln(x_2^4+1)\\\frac{1}{r}x_2\ln(x_2^4+1)+\frac{4x_2^3}{x_2^4+1}\\\frac{1}{r}x_3\ln(x_2^4+1)\end{pmatrix}=r1⎝⎛x1x2x3⎠⎞⋅ln(x24+1)+r⎝⎜⎜⎛0x24+14x230⎠⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎛r1x1ln(x24+1)r1x2ln(x24+1)+x24+14x23r1x3ln(x24+1)⎠⎟⎟⎞
vielen :)
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