Aloha :)
Alle Variablen, nach denen du nicht ableitest, kannst du als Konstanten ansehen:
$$\frac{\partial}{\partial x_1}(x_1^3\underbrace{x_2^2}_{=\text{const}}-x_1\underbrace{x_2^3}_{=\text{const}})=3x_1^2\underbrace{x_2^2}_{=\text{const}}-1\cdot\underbrace{x_2^3}_{=\text{const}}=3x_1^2x_2^2-x_2^3$$$$\frac{\partial}{\partial x_2}(\underbrace{x_1^3}_{=\text{const}}x_2^2-\underbrace{x_1}_{=\text{const}}x_2^3)=\underbrace{x_1^3}_{=\text{const}}\cdot 2x_2- \underbrace{x_1}_{=\text{const}}\cdot 3x_2^2=2x_1^3x_2-3x_1x_2^2$$
$$\Longrightarrow\quad\operatorname{grad}(x_1^3x_2^2-x_1x_2^3)=\binom{3x_1^2x_2^2-x_2^3}{2x_1^3x_2-3x_1x_2^2}$$
