Koordinatenabschnitte berechnen

Question

 

Durch den Punkt P(2,3) wird eine Gerade im ersten Quadranten gelegt, die die Koordinatenachse in den Punkten A und B schneidet. Man berechne die Koordinatenabschnitte x und y, wenn

a)die Fläche A des Dreiecks 0AB ein Minumum
b)der Abstand AB ein Minimum
c)die Summe s der Koordinatenabschnitte ein Minimum
d)der Normalabstand d des Ursprungs 0 von AB ein Maximum sein soll!
 

 

Answer 1

Hier meine ersten Ideen:

Durch den Punkt P(2,3) wird eine Gerade im ersten Quadranten gelegt, die die Koordinatenachse in den Punkten A und B schneidet. Man berechne die Koordinatenabschnitte x und y, wenn

f(x) = - a·(x - 2) + 3 = - a·x + 2·a + 3

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 2·a + 3

Nullstelle f(x) = 0

- a·x + 2·a + 3 = 0
x = 3/a + 2

a) die Fläche A des Dreiecks 0AB ein Minumum 

A = (2·a + 3) * (3/a + 2) = 4·a + 9/a + 12
A' = 4 - 9/a^2 = 0
a = 3/2 [und a = - 3/2]

Y-Achsenabschnitt: 2·(3/2) + 3 = 6
Nullstelle: 3/(3/2) + 2 = 4

b)der Abstand AB ein Minimum

d = (2·a + 3)^2 + (3/a + 2)^2 = 4·a^2 + 12·a + 12/a + 9/a^2 + 13
d' = 8·a - 12/a^2 - 18/a^3 + 12 = 0
a = 12^{1/3}/2 = 1.144714242

Y-Achsenabschnitt: 2·(12^{1/3}/2) + 3 = 5.289428485
Nullstelle: 3/(12^{1/3}/2) + 2 = 4.620741394

c) die Summe s der Koordinatenabschnitte ein Minimum 

 

d)der Normalabstand d des Ursprungs 0 von AB ein Maximum sein soll! 

 

Comments

Vielleicht hast du Lust c) und d) mal auf meiner Grundlage selbst zu ermitteln.

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Danke für deine Hilfe.
Anhand deiner Angaben konnte ich c) alleine lösen (y=5,4494 und x=4,4496)

Bei Aufgabe d) komm ich jedoch nicht mehr weiter kannst du mir da bitte noch einmal helfen?
d^2=x1^2+x2^2

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Du hast die Gerade mit der Gleichung

f(x) = - a·x + 2·a + 3

Dazu senkrecht durch den Ursprung geht die Gerade mit der Gleichung

g(x) = 1/a·x

Schnittpunkt der Geraden ist f(x) = g(x)

- a·x + 2·a + 3 = 1/a·x
x = a·(2·a + 3)/(a^2 + 1)

g(a·(2·a + 3)/(a^2 + 1)) = 1/a·a·(2·a + 3)/(a^2 + 1) = (2·a + 3)/(a^2 + 1)

Der Abstand wäre dann maximal wenn:

d^2 = (a·(2·a + 3)/(a^2 + 1))^2 + ((2·a + 3)/(a^2 + 1))^2
d^2 = (2·a + 3)^2/(a^2 + 1)

d^2' = 2·(2·a + 3)·(2 - 3·a)/(a^2 + 1)^2 = 0

2·a + 3 = 0
a = - 3/2 (nicht im Definitionsbereich)

2 - 3·a = 0
a = 2/3

Jetzt noch die Achsenabschnitte berechnen.

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nochmals vielen dank.
wenn ich für a=(-3/2) einsetze kommt bei den Koordinaten x und y 0 heraus.
ist das richtig oder muss ich für a=(2/3) verwenden?

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Oh Sorry. Du musst natürlich 2/3 nehmen.

Y-Achsenabschnitt f(0) 

f(0) = 2·(2/3) + 3 = 13/3

Nullstelle f(x) = 0

x = 3/(2/3) + 2 = 13/2