Welche Koordinaten hat der höchste Punkt der Parabel?

Question

Aufgabe:

Auf einem 26 m hohen Turm wird ein Stein unter einem Winkel a in die Luft geworfen. Dabei erreicht er nach kurzer Zeit den Punkt R(10| 36). Die Koordinaten sind in m angegeben.

a) Berechne aus den Koordinaten der Punkte R und T die Termdarstellung der quadratischen Funktion f. wenn gelten soll:
y = f(x) = -x² + bx c.

b) Welche Koordinaten hat der höchste Punkt der Parabel?

c) Zeichne den Graphen der Funktion f in ein
Koordinatensystem, (Maßstab: x-Achse: I cm = 2 m. y-Achse: I cm = 10 m)

d) In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf dem Erdboden auf? Lies dazu aus deiner Zeichnung näherungsweise die Koordinaten des Punktes U ab.

Comments

Steht der Turm im Punkt (-355 | 3426)?

Wie steht er zum Koordinatensystem?

Fragen über Fragen...

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Er steht bei (0/0).

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a) Berechne aus den Koordinaten der Punkte R und T die Termdarstellung der quadratischen Funktion f. wenn gelten soll:
y = f(x) = -x + bx c

Der Funktionsterm stimmt sicherlich nicht
Das ist überhaupt keine quadratische Funktion.
Ich sehe kein Quadrat

Kann es sein

y = f(x) = -x^2 + bx + c

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Für T sind keine Koordinaten angegeben.

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Achso ja hab mich verschrieben. Du hast Recht y=f(x) =-x² + bx + c

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Halt Punkt T ist (0/26) von da wird der Stein geworfen

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y = f(x) = -x^2 + bx + c
T ( 0 | 26 )
R ( 10 | 36)

f ( 0 ) = - 0 ^2 + b * 0 + c = 26  => c = 26
f ( 10 ) = -10^2 + b*10 + 26 = 36
b = 11

f ( x ) = -x^2 - 11 * x + 26

Falls es dir nicht gelingt die Fragen zu
beantworten dann melde dich wieder.

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Danke erstmal, jetzt ist ja der Höchste Punkt einfach der Scheitelpunkt also muss ich ja nur noch in die Scheitelpunktform umformen und dann den Scheitelpunkt nehmen was ich glaube dann S(5.5/56.25) wären.

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bei mir noch eine Korrektur
anstelle
f ( x ) = -x2 minus 11 * x + 26
muß es heißen
f ( x ) = -x2 plus 11 * x + 26

Dein Scheitelpunkt stimmt.

Answer 1

f(x)= a*x^2+bx+c

f(0)= c

1.)  c=26

f(x)= a*x^2+bx+26

R(10|36)

f ( 10 ) =  100a+10b+26

2.)100a+10b+26=36

10a+b=1

b = 1-10a

f(x)= a*x^2+ (1-10a)*x+26   

Im Bild siehst du wie sich der Graph durch den Parameter a verändern kann ( → GeoGebra

Text erkannt:

GeoGebra Classic
\( a=-0.6 \)
-15
\( A=(0,26) \)
\( \mathrm{R}=(10,36) \)
\( g(x)=a x^{2}+(1-10 a) x+26 \)
\( \rightarrow-0.6 x^{2}+(1-10(-0.6)) \times+26 \)
\( f(x)=a x^{2}+(1-10 a) x+26 \)

)

mfG

Moliets

Comments

Ich bin von der Angabe:  y = f(x) = -x + b x c ausgegangen  und habe mir gedacht, dass beim 1. x das a fehlt.

mfG

Moliets

Answer 2

Hallo,

Die Wurfparabel soll die Form \(f(x)=-x^2+bx+c\) haben. Bei \(x=0\) muss \(f(0)=26\) sein; von dort wird der Stein geworfen. Daraus folgt \(c=26\). Da die Funktion durch den Punkt \(R(10;\, 36)\) läuft, muss gelten$$\begin{aligned} f(10) &= 36 \\ -(10^2) + 10b + 26 &= 36\\ 10b &= 36 + 100 - 26 = 110 \\ b &= 11\end{aligned}$$

~plot~ -x^2+11x+26;{10|36};[[-2|14|-3|60]];{5.5|(-5.5+11)*5.5+26} ~plot~

Für die Berechnung des höchsten Punktes berechne die Stelle, wo die Ableitung von \(f(x)\) gleich 0 ist:$$f'(x) = -2x + 11 = 0 \implies x = 5,5$$Der Punkt liegt also bei \((5,5| f(5,5))\)

Der Aufschlagpunkt des Steins liegt dort, wo \(f(x)=0\) ist. Lt. Zeichnung muss das in der Nähe von \(x=13\) sein$$\begin{aligned} f(x) &= 0 = -x^2 + 11x + 26 \\ x_{1,2} &= \frac {11}2 \pm \sqrt{\left( \frac {11}2\right)^2 + 26} \\ &= \frac 12 \left( 11 \pm \sqrt{121 + 4\cdot 26} \right) \\&= \frac 12 \left( 11 \pm 15\right)\end{aligned}$$der negative Wert entfällt, der liegt hinter dem Turm. Somit ist die Aufschlagstelle bei \(x = 13\).