Taylorpolynom und Entwicklungsstelle

Question

Die Funktion \( f:]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\rightarrow \boldsymbol{R} \) sei gegeben durch \( f(x)=\ln (\cos (-x)) \).

a) Bestimmen Sie das zugehörige Taylorpolynom 2 - ten Grades mit Entwicklungsstelle \( x_{0}=0 \)

b) Fehlerschabschätzung: Zeigen Sie (ohne Nutzung des Taschenrechners, d.h. mit vollständigem Rechenweg auf Papier), dass \( \left|R_{2}(x)\right|<2 / 3 \) für \( x \in[-\pi / 4, \pi / 4] \) gilt, wobei \( R_{2}(x) \) das Lagrangesche Restglied ist.

Answer 1

Zur a)

f(x) = ln(cos(-x))     

f'(x) = -tan(x)

f''(x) = -1/cos^2(x)

 

Für x = 0 ergibt nur f''(1) = -1 einen Wert ≠0.

In die Taylorformel eingesetzt:

T = -x^2/2

 

b) Ist bei mir zu lange her, als dass ich mich erinnern könnte. Aber ich denke das ist durchaus selbst machbar. Ein Blick ins Skript/Vortragsübung sollte helfen!

Comments

Kann man bei a das angegebene Intervall außer acht lassen oder inwiefern beachtest du das in deiner Rechnung?

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Ja, prinzipiell wird das letztlich nicht mit einbezogen. Das Intervall.

Die Näherung bezieht sich halt nur auf dieses Intervall. Darüber hinaus ist die Näherung (unbelassen wie oben) nicht mehr zu gebrauchen.