Maximales Rechteck zwischen 2 Parabeln

Question

Die Graphen der Funktionen f(x)=x^2 und g(x)=-x^2+6 schließen eine Fläche ein. In diese Fläche wird ein Rechteck so gelegt, dass die Rechteckseiten parallel zu den Achsen verlaufen. Welche Koordinaten müssen die Eckpunkte des Rechtecks haben, damit der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird?

Hallo, Ich weiß leider gar nicht wie man bei dieser Aufgabe vorgehen muss.

Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Schonmal danke im voraus!

Answer 1

sieht so aus

~plot~ x^2;6-x^2; [[-4|4|-1|8]] ~plot~

Denke dir die Ecken (x;x^2 ), ( x;6-x^2),(-x;6-x^2),(-x;x^2)

Dann ist die Rechtecksfläche A(x) = 2x*(6-x^2-x^2) = 2x(6-2x^2)

       = 12x - 4x^3

A ' (x) = 12 - 12x^2 also A ' (x) = 0 für x=1.

also Ecken (1;1) ; (1;5);(-1;5) ; ( -1;1).

Answer 2

Hallo,

da die beiden Graphen symmetrisch zur y-Achse sind, genügt es, das blaue Rechteck ABCD zu betrachten.

Flächeninhalt \(A=x\cdot \big(g(x)-f(x)\big)\\=x\cdot(x^2-(-x^2+6))\)

Multipliziere die Klammer aus, bilde die 1. Ableitung, setze sie = null und löse nach x auf.

Du kannst dich gerne melden, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia