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Zeigen Sie: In einem Körper K ist zu jedem Element a das entgegengesetzte Element  -a eindeutig bestimmt.
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Sei K ein Körper, a ein Element aus K und e das neutrale Element von K.

Sei i1 ∈ K ein Inverses von a, sodass also gilt:

i1 a = a i1 = e

Sei nun i2 ein weiteres Inverses von a, sodass also gilt:

i2 a = a i2 = e

Dann gilt:

i2 = e i2 = (i1a ) i2 = i1( a i2 ) = i1e = i1

Also ist i2 = i1 und das bedeutet, dass das inverse Element eindeutig bestimmt ist. 

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Was ist denn der Unterschied zwischen i1 a und a i1? Das, was du bei "Dann gilt" geschrieben hast, verstehe ich nicht so ganz. Könntest du etwas erläutern, wieso ausgerechnet das da gilt. 

Danke...

In einem Körper gibt es da wegen der dort geltenden Kommutativität keinen Unterschied. Das besagt ja auch die Aussage

i1 a = a i1

Ich habe das nur zur Verdeutlichung hingeschrieben, um bei Bedarf beide Formen benutzen zu können.

Erläuterungen:

i1 = e i1 (Da e laut Voraussetzung das neutrale Element ist, gibt es keinen Unterschied zwischen i1 und e i1, also darf man i1 mit e i1 gleichsetzen)

= ( i1a ) i2 (das neutrale Element e kann durch i1 a ersetzt werden, weil vorausgesetzt wurde, dass i1 ein inverses Element ist, dass also gilt: i1a = e )

= i1( a  i2 ) (da wir uns in einem Körper befinden, ist die Verknüpfung assoziativ, man darf also anders klammern ohne dass sich das Ergebnis verändert )

= i1 e (Gemäß Voraussetzung ist a i2 = e , also kann a i2 durch e ersetzt werden)

= i1 (da e das neutrale Element ist, gibt es keinen Unterschied zwischen i1 e und i1 Daher kann das e auch weggelassen werden.)

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Seien  a,b,c aus dem Körper mit der Eigenschaft a+b=0=a+c

Dann ist b=b+0           Def. neutrales Element

                    = b+(a+c), nach def. Eigenschaft

                   =(b+a)+c   Ass.gesetz

                   =0+c          def. Eigenschaft und kommutativgesetz

                   =c                Def. neutrales Element
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