Das entgegengesetzte Element

Question

Zeigen Sie: In einem Körper K ist zu jedem Element a das entgegengesetzte Element  -a eindeutig bestimmt.
  =)

Answer 1

Sei K ein Körper, a ein Element aus K und e das neutrale Element von K.

Sei i₁ ∈ K ein Inverses von a, sodass also gilt:

i₁ a = a i₁ = e

Sei nun i₂ ein weiteres Inverses von a, sodass also gilt:

i₂ a = a i₂ = e

Dann gilt:

i₂ = e i₂ = (i₁a ) i₂ = i₁( a i₂ ) = i₁e = i₁

Also ist i₂ = i₁ und das bedeutet, dass das inverse Element eindeutig bestimmt ist. 

Comments

Was ist denn der Unterschied zwischen i₁ a und a i₁? Das, was du bei "Dann gilt" geschrieben hast, verstehe ich nicht so ganz. Könntest du etwas erläutern, wieso ausgerechnet das da gilt. 

Danke...

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In einem Körper gibt es da wegen der dort geltenden Kommutativität keinen Unterschied. Das besagt ja auch die Aussage

i₁ a = a i₁

Ich habe das nur zur Verdeutlichung hingeschrieben, um bei Bedarf beide Formen benutzen zu können.

Erläuterungen:

i₁ = e i₁ (Da e laut Voraussetzung das neutrale Element ist, gibt es keinen Unterschied zwischen i₁ und e i₁, also darf man i₁ mit e i₁ gleichsetzen)

= ( i₁a ) i₂ (das neutrale Element e kann durch i₁ a ersetzt werden, weil vorausgesetzt wurde, dass i₁ ein inverses Element ist, dass also gilt: i₁a = e )

= i₁( a  i₂ ) (da wir uns in einem Körper befinden, ist die Verknüpfung assoziativ, man darf also anders klammern ohne dass sich das Ergebnis verändert )

= i₁ e (Gemäß Voraussetzung ist a i₂ = e , also kann a i₂ durch e ersetzt werden)

= i₁ (da e das neutrale Element ist, gibt es keinen Unterschied zwischen i₁ e und i₁ Daher kann das e auch weggelassen werden.)

Answer 2

Seien  a,b,c aus dem Körper mit der Eigenschaft a+b=0=a+c

Dann ist b=b+0           Def. neutrales Element

                    = b+(a+c), nach def. Eigenschaft

                   =(b+a)+c   Ass.gesetz

                   =0+c          def. Eigenschaft und kommutativgesetz

                   =c                Def. neutrales Element