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Aufgabe:

Ein Zufallsvariable ist durch die Tabelle bestimmt, bei der Wahrscheinlichkeiten verloren genagen sind.

x
-10
0
1
2
3
5
P(X=x)
0,1
0,2
0,1
0,3
p1
p2


Untersuche, zwischen welchen Werten der Erwartungswert liegen kann.
Problem/Ansatz:

Hab keine Ahnung wie es man lösen kann. Kann mir jemand bitte helfen?

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Aloha :)

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss \(=1\) sein: $$1\stackrel!=0,1+0,2+0,1+0,3+p_1+p_2=0,7+p_1+p_2$$$$\Rightarrow\quad p_1+p_2=0,3$$

Der Erwartungswert der Zufallsvariablen \(X\) lautet:$$\left<X\right>=0,1\cdot(-10)+0,2\cdot0+0,1\cdot1+0,3\cdot2+p_1\cdot3+p_2\cdot5$$$$\Rightarrow\quad\left<X\right>=-0,3+3p_1+5p_2$$

Wegen \(p_1+p_2=0,3\) können wir \(p_2=0,3-p_1\) in die Formel für den Erwartungswert einsetzen:$$\left<X\right>=-0,3+3p_1+5(0,3-p_1)=1,2-2p_1$$

Da \(0\le p_1\le0,3\) gelten muss, haben wir:$$\left<X\right>_{\text{min}}=1,2-2\cdot0,3=0,6\quad;\quad\left<X\right>_{\text{max}}=1,2-2\cdot0=1,2$$

Der Erwartungswert \(\langle X\rangle\) liegt also im Bereich von \(0,6\) bis \(1,2\).

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Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in der unteren Zeile muss 1 ergeben.

Damit ist der fehlende Wert exakt bestimmbar und der Erwartungswert eindeutig ausrechenbar. Es gibt also gar keine von-bis-Spanne.

Avatar von 55 k 🚀

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