Aloha :)
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss \(=1\) sein: $$1\stackrel!=0,1+0,2+0,1+0,3+p_1+p_2=0,7+p_1+p_2$$$$\Rightarrow\quad p_1+p_2=0,3$$
Der Erwartungswert der Zufallsvariablen \(X\) lautet:$$\left<X\right>=0,1\cdot(-10)+0,2\cdot0+0,1\cdot1+0,3\cdot2+p_1\cdot3+p_2\cdot5$$$$\Rightarrow\quad\left<X\right>=-0,3+3p_1+5p_2$$
Wegen \(p_1+p_2=0,3\) können wir \(p_2=0,3-p_1\) in die Formel für den Erwartungswert einsetzen:$$\left<X\right>=-0,3+3p_1+5(0,3-p_1)=1,2-2p_1$$
Da \(0\le p_1\le0,3\) gelten muss, haben wir:$$\left<X\right>_{\text{min}}=1,2-2\cdot0,3=0,6\quad;\quad\left<X\right>_{\text{max}}=1,2-2\cdot0=1,2$$
Der Erwartungswert \(\langle X\rangle\) liegt also im Bereich von \(0,6\) bis \(1,2\).
